Green's and Stokes' Theorem Relationship

저번 영상부터 우리는
스토크스 정리에 대해서 알아보았습니다

그리고 이번 영상에서는

이 스토크스 정리가 주장하는 바가

우리가 배워 온 다른 정리와 일관되는지를 보고자 합니다

먼저 좌표공간을 그려보겠습니다

이것이 z축이고요

x축이고요

y축입니다

xy 평면에 어떤 영역이 있다고 합시다

이렇게 생겼습니다

이 영역을 R이라고 하겠습니다

그리고 이 영역의 경계선의 방향에 대해서도
생각해 볼 것인데요,

이 경로의 방향이 반시계방향이라고 합시다

즉 다음과 같이 영역 R의 경계를

반시계방향으로 따라가는 경로를
경로 c라고 부르겠습니다

반시계방향으로 따라가는 경로를
경로 c라고 부르겠습니다

반시계방향으로 따라가는 경로를
경로 c라고 부르겠습니다

또한 벡터장 f가 있다고 합시다

이 벡터장의 i 성분은

x, y로 이루어진 함수이고

j 성분 역시 오직 x, y로 이루어진 함수이며

그리고 k 성분은 없습니다

이 영역에서의 벡터장은

이렇게 나타난다고 하면,

아무렇게나 그린 겁니다

이 영역에서 z축 상으로 올라가도

(벡터장 식에 z가 없으므로)
벡터장은 똑같이 생겼을 것입니다

그러니까 z축으로 올라가도 이 벡터는

계속 똑같을 것이란 말입니다

즉슨, 이 벡터장은 z축 방향으로 평행합니다

z=0일 때에는 지금 그림에서처럼
xy 평면 위에 얹혀있고요

이 상태에서,

스토크스 방정식이 우리에게

윤곽에 대한 선적분에 대해 시사하는 바를 알아봅시다

f 도트 dr 의 경로 c에 대한 선적분

여기서 dr은 경로 c를 따르는 방향입니다

스토크스 정리를 따르면, 이 식의 값은

여기 위에 써놓은 식의 값과 같아야 합니다

즉슨, 이 경로 c가 결정하는 영역 R에 대한

이중적분과 같아야 합니다

식으로 쓰자면,

영역 R에 대한 이중적분

회전(curl) f 내적 n 으로 쓸 수 있습니다

그런데 여기서 curl f 내적 n 이 무엇인지 생각해 봅시다

어차피 뒤에 오는 ds는 면적 R의

매우 작은 한 부분일 뿐이라는 것을 이미 알고 있습니다

그런 의미에서 dA라고 쓸 수 있습니다

하지만 curl f 내적 n이 의미하는 바가 조금 불명확한데요

먼저 curl f에 대해서 봅시다

curl f는

제가 외우는 방식대로 하자면

먼저 i, j, k를 쓰고

x에 대한 편미분, y에 대한 편미분,
z에 대한 편미분

참고로 이것은 그냥 curl의 정의일 뿐입니다

우리는 이 벡터장이

얼마만큼의 회전을 일으키는지를 보고자 하는 것입니다

그리고 마지막으로 i 성분의 함수 P(x, y)

그리고 j 성분 Q

그리고 k 성분은 없으므로 0이 되겠네요

이 행렬의 행렬식을 구하면 됩니다

먼저 i 성분을 보자면

0을 y에 대해서 편미분 한 것이 되므로

그냥 0에다가, 빼기
Q의 z에 대한 편미분인데

Q는 z에 대한 식이 ㅓㄴ혀 아니므로

Q의 z에 대한 편미분은 그저 0이 됩니다

따라서 0 빼기 0이므로 그냥 0입니다

헷갈리는 분들을 위해 적어 보이겠습니다

먼저 i 성분은 0의 y에 대한 편미분

그럼 그냥 0이 되고요

빼기 Q의 z에 대한 편미분

그런데 Q는 z에 관계있는 식이 아니므로

이것도 0이 됩니다

따라서 0i 가 됩니다

그리고 j에 대해서 해보자면

먼저 0의 x에 대한 편미분은 0이고요

빼기 P의 z에 대한 편미분

그런데 이번에도 P는 z에 대한 식이 아니기 때문에

이 값도 0이 됩니다

이제 k를 볼까요

먼저 Q의 x에 대한 편미분입니다

빼기 P의 y에 대한 편미분

따라서 i와 j항을 날리면, 회전 f는 다음과 같습니다

그렇다면 n은 무엇일까요?

그러니까 단위 법선벡터는 무엇일까요

이 영역 R이 xy 평면 위의 영역이므로

단위벡터는 크기가 1인 z축 방향으로의 벡터입니다
(즉, [0, 0, 1])

그러니까 우리 경우에는 단위 법선벡터가

k가 되죠

그러니까 회전 f는 다음과 같고

단위 법선벡터는

k 벡터입니다

그렇다면 이 둘을 내적시키면 무엇이 될까요?

회전 f는 i항과 j항이 없고 k항만이 있는데

동일한 방향의 벡터끼리의 내적은
그 두 벡터의 크기의 곱과 같으므로

회전 f 내적 단위법선벡터의 결과는 바로 이것입니다

그러니까 Q의 x에 대한 편미분 빼기

P의 y에 대한 편미분이 되죠

이렇게 우리는 스토크스 정리로부터

영역 R의 xy 평면 위에 놓여있는 특수한 경우에 대해서,

그린의 정리를 유도하였습니다
(우와!)

이 식이 그린의 정리였잖아요?
(참고로 그린의 정리 영상도 제가 번역했어요 :) )

이로부터 그린의 정리는 실제로는
스토크스 정리의 특수한 경우라는 것을 알 수 있습니다

영역이 xy 평면에 평평하게 놓여 있을 경우에 대한,
스토크스 정리의 특수한 경우이죠

이 결과를 보고 있자니 기분이 좋아집니다
(진짜요??)

물론 우리가 아직 스토크스 정리를 증명한 적은 없지만요

하지만 제가 이 결과를 좋아하는 이유는

이 결과로부터 그린의 정리와 스토크스의 정리과

일관적이라는 것을 알 수 있습니다

우리가 처음에 그린의 정리를 배웠을 때에는

'뭐지 이건?'

'도대체 무슨 일이 일어나고 있는 거지?'

했는데 이제는 사실

이 영역의 회전(curl)을 면적을 따라
구하는 것이라는 걸 알아냈습니다

이제서야 우리가 저번 영상의 도입을 기반으로 하여

이해가 되기 시작하네요
(번역 끝! (^_-)-☆）