Green's and Stokes' Theorem Relationship

W poprzednim filmie, zaczęliśmy poznawać Twierdzenie Stokesa.

W tym filmie chcę sprawdzić,

czy jest ono spójne z tym

co już wcześniej widzieliśmy.

Aby to zrobić, wyobraźmy sobie... Narysuję osie współrzędnych

To jest moja oś z.

To jest moja oś x.

A to jest oś y.

Teraz wyobraźmy sobie obszar na płaszczyźnie xy.

Narysuję go w ten sposób.

Niech to będzie mój obszar na płaszczyźnie xy.

Nazwę go obszarem R.

Mam również brzeg tego obszaru.

I powiedzmy, że zależy nam na kierunku, w jakim

przemierzamy ten brzeg.

Powiedzmy, że przemierzamy go w kierunku

przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Mamy więc tą drogę, która biegnie wokół tego obszaru.

Możemy ją nazwać c.

Możemy ją nazwać c i będziemy

ją przemierzać w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara

Powiedzmy również, że mamy pole wekorowe F.

Którego i-ta składowa jest

po prostu funkcją x i y.

Oraz jego j-ta składowa będzie

funkcją x i y.

Powiedzmy, że nie ma ono k-tej składowej.

Więc pole wektorowe na tym obszarze

może wyglądać jakoś tak.

Rysuję po prostu losowe rzeczy.

Jeśli opuścimy ten obszar,

jeśli pójdziemy w kierunku osi z,

będzie ono wyglądało tak samo, w miarę posuwania się w górę.

Więc ten wektor nie zmieni się

jeśli zmienimy współrzędną z.

Wszystkie wektory będą zasadniczo równoległe

do płaszczyzny xy

(lub będą w niej zawarte gdy z=0).

Teraz, mając to, zastanówmy się

co Twierdzenie Stokesa powie nam o wartości całki krzywoliniowej

po tym brzegu.

Narysuję tą linię trochę schludniej.

Całka krzywoliniowa po tym brzegu z F razy (skalarnie) dr

F razy małe dr, gdzie dr

biegnie wzdłuż brzegu.

Więc jeśli weźmiemy Twierdzenie Stokesa, ta wielkość

tutaj powinna być równa tej wielkości

tutaj.

Powinna być równa podwójnej całce po powierzchni.

Właściwie ten obszar po prostu

leży na płaszczyźnie xy.

Więc to powinna być podwójna całka

Napiszę to tym samym...

To będzie podwójna całka po naszym obszarze,

który jest tym samym co nasza powierzchnia

z rotacji F razy (skalarnie) n.

Zastanówmy się czym jest rotacja F razy (skalarnie) n.

Oraz dS będzie po prostu małym kawałkiem

naszego regionu, małym kawałkiem naszej płaskiej powierzchni.

O, tutaj.

Więc zamiast dS napiszę dA.

Pomyślmy jednak czym będzie rotacja razy n.

Najpierw zajmijmy się rotacją.

Więc rotacja F (sposób w jaki zawsze

to pamiętam to, że bierzemy

wyznacznik tego i, j, k

pochodna cząstkowa względem x, pochodna względem y

pochodna względem z.

To jest po prostu definicja rotacji

Próbujemy rozstrzygnąć jak to pole wektorowe powoduje,

że coś się kręci.

Dalej chcemy składową "i",

która jest funkcją p, zależną od x i y.

Składowa j, która jest po prostu funkcją q.

Nie było składowej z, więc 0.

Więc ta rzecz tutaj będzie równa.. Cóż...

Jeśli spojrzymy na składową i,

to będzie to pochodna cząstkowa względem y z 0.

To będzie po prostu 0. Minus pochodna cząstkowa q

względem z.

Jaka jest pochodna cząstkowa q względem z?

Cóż, q nie jest funkcją zależną od z.

Więc to też będzie równe 0.

Zapiszę, żeby nie było wątpliwości.

Zatem nasza składowa i będzie pochodną cząstkową z 0

względem y.

Więc będzie to 0 minus pochodna q

względem z.

Pochodna q względem z

będzie równa 0.

Więc mam zerową składową i.

Dalej chcemy odjąć składową j.

A składowa j to pochodna cząstkowa 0 względem x jest równa 0.

Dalej od tego odejmujemy pochodną cząstkową p

względem z.

I znów, p nie jest funkcją z.

Więc to będzie znowu równe 0.

Dalej jest plus k razy pochodna cząstkowa q

względem x.

Pamiętaj, że to jest pochodna cząstkowa.

Zatem pochodna cząstkowa q względem x.

I od tego odejmujemy pochodną cząstkową p

względem y.

Więc rotacja F upraszcza się do tego wyrażenia.

Teraz, czym jest n?

Czym jest wektor normalny

Jesteśmy na płaszczyźnie xy

Zatem jednostkowy wektor normalny

będzie skierowany dokładnie w kierunku osi z.

i będzie miał długość 1.

Więc w tym przypadku, nasz jednostkowy wektor normalny

to po prostu wektor k.

Więc zasadniczo będziemy brali... To jest rotacja F.

A nasz jednostkowy wektor normalny

będzie równy k.

To będzie po prostu jednostkowy wektor k.

Będzie skierowany prosto w górę.

Co się zatem stanie jeśli przemnożymy skalarnie rotację F razy k?

Jeśli przemnożymy to skalarnie przez k?

Po prostu mnożymy skalarnie to z tym.

Cóż, otrzymamy to wyrażenie.

Zatem rotacja F razy (skalarnie) jednostkowy wektor normalny

będzie po prostu równe temu.

Będzie równe pochodnej cząstkowej q względem x

minus pochodna cząstkowa p względem y.

I to się zgadza, ponieważ używając Twierdzenia Stokesa

w tym szczególnym przypadku, mamy do czynienia

ze spłaszczoną powierzchnią na płaszczyźnie xy.

W tym przypadku, wszystko się sprowadza do twierdzenia Greena.

To wyrażenie sprowadza się po prostu do twierdzenia Greena.

Zatem, jak widzimy, twierdzenie Greena jest tylko szczególnym przypadkiem.

Napiszę twierdzenie bardziej schludnie.

Widzimy, że twierdzenie Greena jest tak naprawdę

szczególnym przypadkiem twierdzenia Stokesa,

gdy nasza powierzchnia jest spłaszczona i leży na płaszczyźnie xy.

To powinno nas cieszyć,

mimo że nie udowodniliśmy jeszcze twierdzenia Stokesa.

Jedną rzeczą jaką lubię to widzieć,

że twierdzenie Greena i Stokesa są spójne

i to tutaj zaczyna mieć sens.

Gdy pierwszy raz uczyliśmy się twierdzenia Greena

nie było wiadomo o co chodzi.

Co się tutaj dzieje?

Ale teraz to mówi nam po prostu,

że bierzemy rotację w tym obszarze na powierzchni.

I teraz to zaczyna mieć sens, w oparciu o intuicję,

jakiej nabraliśmy w poprzednim filmie.