Green's and Stokes' Theorem Relationship

在上一个视频中，我们开始学习斯托克斯定理，

在这个视频中，

我想来看看，它与我们

已经学习过的是不是一致。

为了这个目的，我们想象--我先画出数轴，

这是我的 z 轴，

这是我的 x 轴，

这是我的 y 轴，

我们想象在 xy 平面有一个区域，

我把它画出来，

我们说，这是我在 xy平面的区域，

我叫它 区域 R，

我还有这个区域的边界，

我们关心

我们沿边界移动的方向，

我们是

沿边界逆时针移动，

这样，我们就有一个环绕这个区域的路径，

我们可以叫它 c ，

我们叫它 c ，我们

要在它上面逆时针移动，

我们还有一个矢量场，

实质上，它的 i 分量只是

x 和 y的函数，

它的 j 分量

只是 x 和 y 的函数，

我们说，它没有 k 分量，

这样，这个区域上的 矢量场，

它就会是像这样的。

我只是随机地画一些矢量，

如果我离开这个区域，

如果你沿 z 方向走，

这只是越走越高，

而那个矢量

在你的 z 分量变化时，不会变化。

所有的矢量实际上

都平行于--当 z 等于 0 时--

都在 xy 平面上，

这样，我们来思考一下，

根据斯托克斯定理

在这个路径上的线积分值是什么？

我画得更好一点，

F 点乘 dr 在路径 c 上的线积分，

F 点乘 小写 dr，这里很明显 dr

沿着这个路径。

我们使用斯托克斯定理，

这个量应该是

等于这个量，

它应该等于这个表面的双重积分，

这个区域其实只是一个

位于 xy 平面上的一个表面。

它就应该是双重积分--

我来写成相同的 --

它会是这个区域

也就是我们的这个表面

F的旋度 点乘 n 的双重积分，

所以，我们就需要考虑 F 的旋度点乘 n 是什么，

ds 就是

我们这个区域上的一个小面积，

这里一个小面积，

我不用 ds 我把它写成 da，

我们来看，

F 的旋度点乘 n 是什么，

F 的旋度--我总是这样来记忆，

我们要求出它的行列式，

i，j， k，

对 x 的偏导，对 y 的偏导，

对 z 的偏导，

这正式旋度的定义，

我们要得到这个矢量场

导致其旋转的量有多大，

然后，我来求 i 分量，

它就是我们的函数 P，它只是 x 和 y 的函数，

j 分量，它是函数 Q，

这里没有 z 分量，所以它是 0，

这样，它就等于

如果我们来看 i 分量，

它就是 0 对 y 的偏导，

它就是 0 ，减去

Q 对 z 的偏导，

Q 对 z 的偏导是什么？

Q 根本不是 z 的函数，

它也是 0，

这不难理解，

我们的 i 分量，

它是 0 对 y 的偏导，

它就是 0， 减去

Q 对 z 的偏导，

Q 对 z 的偏导，

也是 0 ,

所以 i 分量等于 0，

然后，我们要减去 j 分量，

j 分量， 0 对 x 的偏导是 0，

从它，减去 P

对 z 的偏导，

又是这样， P 根本不是 z 的函数，

它又等于 0 ，

然后，你要加上 k 乘以

Q 对 x 的偏导，

记住， 它只是偏导算子，

所以， Q 对 x 的偏导，

然后，从它减去

P 对 y 的偏导，

这样， F 的旋度就简化成这样了。

现在, n 是什么？

这个单位法向量是什么，

我们是在 xy 平面，

那么，它的单位法向量

就在 z 方向，向上，

它的幅值是 1，

在这种情况下，我们的单位法向量

就是矢量 k ，

所以，实质上我们就是要--F的旋度就是它，

而我们的单位法向量

就等于 k ，

它就是单位向量 k ，

它是向上的，

那么我们求 F 的旋度点乘 k 会是什么结果？

如果我们把它点乘 k ，

它点乘它，

好，那结果就是这一部分，

F 的旋度点乘单位法向量

就等于它，

它就等于Q对 x 的偏导

减去 P 对 y 的偏导。

这很整洁，因为

对这个特殊情况使用斯托克斯定理，

这里是一个在 xy 平面上展开的表面，

在这种情况下，它就归结维格林定理。

这里的这些归结为格林定理，

也就是说，格林定理其实就是斯托克斯定理的一个特例。

我们来吧定理写得更整洁一些，

我们看到格林定理

其实就是斯托克斯定理的一个特例，

这里我们的表面是一个平面，而且它在 xy 平面上。

这让我们感觉良好，

尽管我们还没有证明斯托克斯定理。

但是我特别喜欢它的一点

就是看到格林定理和斯托克斯定理是一致的，

我们看到这里的描述很有意义。

当我们第一次学习格林定理时，我们会想，

这是什么？

这里发生了什么？

但是现在，它告诉我们，

这只是在这个区域沿表面求旋度，

现在我们开始意识到

基于在上一个视频中看到的直观的描述，它很说明问题。