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Types of discontinuities | Limits and continuity | AP Calculus AB | Khan Academy

  • 0:00 - 0:02
    이번 영상에서는
  • 0:02 - 0:04
    다양한 종류의 불연속성에
    대해 다뤄볼 것입니다
  • 0:04 - 0:07
    아마 여러분이 대수학이나
  • 0:07 - 0:11
    미적분 준비 코스를 할 때
    본 적이 있을 거예요
  • 0:11 - 0:15
    이제 이를 양쪽 극한과 한쪽
    극한에 연결시켜 볼 겁니다
  • 0:15 - 0:19
    불연속성의 종류에 대해
    복습해 봅시다
  • 0:19 - 0:22
    여기 왼쪽의 그래프는
  • 0:22 - 0:26
    y = x² 그래프처럼 생겼습니다
  • 0:26 - 0:29
    x가 3에 도달하기
    전까지는 말이죠
  • 0:29 - 0:31
    여기서 x는 3²이 되는 대신
  • 0:31 - 0:33
    이처럼 구멍이 생기게 됩니다
  • 0:33 - 0:36
    그리고 함수는 x가 3일 때
    4의 지점에서 정의됩니다
  • 0:36 - 0:37
    그런데 그러다가 함수는
    원래대로 계속됩니다
  • 0:37 - 0:40
    y = x²의 형태로 말입니다
  • 0:40 - 0:46
    이 지점을 없앨 수 있는
    불연속성이라고 부릅니다
  • 0:46 - 0:48
    이름의 유래는 명확하죠
  • 0:48 - 0:50
    이 점에서 불연속성이 생기니까요
  • 0:50 - 0:53
    함수를 재정의함으로써
  • 0:53 - 0:55
    이 점에서 연속될 수 있게
    해 볼 수도 있습니다
  • 0:55 - 0:58
    없앨 수 있는
    불연속성이라면 말입니다
  • 0:58 - 1:00
    이것이 연속성의 정의와
  • 1:00 - 1:02
    어떻게 관련이 있을까요?
  • 1:02 - 1:05
    연속성의 정의에 대해
    다시 되새겨봅시다
  • 1:05 - 1:08
    함수 f는
  • 1:08 - 1:10
    연속성을 가집니다
  • 1:10 - 1:12
    다음의 필요충분조건을
    충족한다면 말입니다
  • 1:12 - 1:14
    연속함수 f(x)는
  • 1:14 - 1:18
    x가 c에 한없이 가까워질 때
  • 1:18 - 1:22
    f(x)의 극한값이 x가 c일 때의
    실제 함수값이랑
  • 1:22 - 1:27
    동일하다는 전제 하에
  • 1:27 - 1:29
    x가 c인 지점에서
    연속성을 가집니다
  • 1:29 - 1:31
    그러면 이 함수는
    왜 연속성을 가지지 못하나요?
  • 1:31 - 1:33
    양쪽 극한은 사실 존재합니다
  • 1:33 - 1:37
    c가 3이라고 가정한다면
  • 1:37 - 1:42
    x가 3에 한없이 가까워질 때
  • 1:42 - 1:44
    f(x)의 극한값은
  • 1:44 - 1:46
    그래프를 통해 관찰해 보면
  • 1:46 - 1:49
    아, 그리고 이 그래프가
    y = x²이라고 가정합시다
  • 1:49 - 1:51
    이 지점의 불연속성만
    제외하고는 말이죠
  • 1:51 - 1:54
    그러면 이 극한값은 9입니다
  • 1:54 - 1:58
    여기서 문제는 이 그래프가
  • 1:58 - 2:00
    이 함수값과 같지 않다는 것입니다
  • 2:00 - 2:02
    함수값 f(3)은
  • 2:02 - 2:05
    그래프에 따르면
  • 2:05 - 2:08
    9가 아닌 4의 값을 가집니다
  • 2:08 - 2:11
    따라서 이것은 양쪽
    극한이 존재하지만
  • 2:11 - 2:15
    함수값과는 다른 상황입니다
  • 2:15 - 2:17
    이것 말고도 함수가
  • 2:17 - 2:18
    해당 지점에서 정의되지 않는
    상황도 생길 수 있습니다
  • 2:18 - 2:20
    이 점이 없는 것과 같죠
  • 2:20 - 2:22
    다시 말하자면
    극한값이 존재하더라도
  • 2:22 - 2:24
    함수는 그 지점에서 정의되지
    않을 수도 있습니다
  • 2:24 - 2:28
    둘 중 어느 경우이건
  • 2:28 - 2:30
    연속성의 조건을
    충족하지 못합니다
  • 2:30 - 2:34
    이것이 바로 없앨 수 있는
    불연속성입니다
  • 2:34 - 2:36
    왜 그것이 우리의
    연속성의 정의에 있어서
  • 2:36 - 2:41
    불연속성으로 정의되는지
    이제 알았을 것입니다
  • 2:41 - 2:43
    두 번째 예제를 봅시다
  • 2:43 - 2:46
    직관적으로 연속성을
    테스트해 봅시다
  • 2:46 - 2:49
    이 그래프를 따라 쭉 내려갔을 때
  • 2:49 - 2:52
    x가 2에 도달하게 되면
  • 2:52 - 2:55
    연필을 들었다가 놔야 그래프를
    계속 따라갈 수 있습니다
  • 2:55 - 2:58
    이것은 불연속성을
    의미하는 신호입니다
  • 2:58 - 3:01
    여기서도 같은 현상을
    볼 수 있습니다
  • 3:01 - 3:04
    이 함수를 계속 따라가려면
  • 3:04 - 3:05
    연필을 들었다가 놔야 합니다
  • 3:05 - 3:06
    이 지점으로 내려왔다가
  • 3:06 - 3:08
    다시 올라가서 그래프를
    따라갈 수밖에 없습니다
  • 3:08 - 3:10
    둘 중 어느 경우이든 연필을
    들었다가 놔야 합니다
  • 3:10 - 3:12
    직관적으로 봤을 때도
    불연속성을 알 수 있습니다
  • 3:12 - 3:15
    하지만 이 특정
    불연속성의 경우에는
  • 3:15 - 3:17
    한 점에서 도약, 혹은 비약하여
  • 3:17 - 3:20
    아래의 점으로 이동해야
    그래프가 계속됩니다
  • 3:20 - 3:22
    직관적인 유래에 따라
  • 3:22 - 3:28
    이는 비약 불연속성이라고 불립니다
  • 3:28 - 3:31
    이는 물론 없앨 수 있는
    불연속성에 해당합니다
  • 3:31 - 3:34
    이것이 극한과 어떻게
    관련을 가질까요?
  • 3:34 - 3:38
    여기에서 좌극한과
    우극한이 존재하지만
  • 3:38 - 3:39
    두 극한값은 서로 다릅니다
  • 3:39 - 3:42
    따라서 양쪽 극한이
    존재하지 않습니다
  • 3:42 - 3:46
    예를 들어 이 함수는
  • 3:46 - 3:49
    2 이하의 x값에서는
  • 3:49 - 3:51
    y = x²의 그래프를 가집니다
  • 3:51 - 3:53
    x값이 2보다 클 때에는
  • 3:53 - 3:55
    √x의 그래프를 가집니다
  • 3:55 - 3:57
    이러한 시나리오에서
  • 3:57 - 4:02
    x가 2에 한없이 가까워질 때
  • 4:02 - 4:08
    f(x)의 극한값을 구해본다면
  • 4:08 - 4:10
    좌극한인 경우에
  • 4:10 - 4:11
    이 극한값은 4일 것입니다
  • 4:11 - 4:12
    여기 이 값을 향해 가까워지니까요
  • 4:12 - 4:15
    이것은 함수의
    실제 값이기도 합니다
  • 4:15 - 4:19
    하지만 x가 2에 한없이
    가까워지는데
  • 4:19 - 4:21
    이것이 우극한이라면
  • 4:21 - 4:23
    극한값은 무엇일까요?
  • 4:23 - 4:24
    오른쪽으로부터 가까워지니
  • 4:24 - 4:26
    이것은 √x이고
  • 4:26 - 4:29
    따라서 √2에 한없이
    가까워지게 됩니다
  • 4:29 - 4:30
    이것이 √2라는 것을
  • 4:30 - 4:31
    그래프만 보고 알 수는
    없습니다
  • 4:31 - 4:32
    제가 Desmos에서
  • 4:32 - 4:34
    이 함수를 정의할 때
    그렇게 정의했기 때문에
  • 4:34 - 4:36
    저는 알고 있지만 말이죠
  • 4:36 - 4:38
    하지만 그래프만 봤을 때도
  • 4:38 - 4:40
    좌극한과 우극한이
  • 4:40 - 4:41
    서로 다른 극한값을 가진다는 것을
  • 4:41 - 4:43
    쉽게 알 수 있습니다
  • 4:43 - 4:45
    따라서 한쪽 극한들이
    존재하더라도
  • 4:45 - 4:46
    같은 극한값을 향해 가까워지지
    않고 있습니다
  • 4:46 - 4:48
    따라서 양쪽 극한은
    존재하지 않습니다
  • 4:48 - 4:50
    양쪽 극한이 존재하지 않는다면
  • 4:50 - 4:52
    함수의 그 지점에서의 실제 값과는
    당연히 다를 것입니다
  • 4:52 - 4:55
    함수가 정의되어
    있더라도 말입니다
  • 4:55 - 4:59
    이것이 비약 불연속성이 연속성의
    조건을 충족하지 못하는 이유입니다
  • 4:59 - 5:00
    다시 강조하지만
    직관적으로 이해할 수 있습니다
  • 5:00 - 5:01
    여기서 연필을 들었다가 놔서
  • 5:01 - 5:03
    도약을 해야 되니까요
  • 5:03 - 5:06
    이 두 곡선은 서로
    연결되어 있지 않습니다
  • 5:06 - 5:09
    여기서 보고 있는 이것은
  • 5:09 - 5:10
    미적분의 준비 코스에서도 배웠던
  • 5:10 - 5:17
    점근적 불연속성이라고 합니다
  • 5:17 - 5:20
    점근적
  • 5:20 - 5:24
    불연속성
  • 5:24 - 5:28
    직관적으로 봤을 때
    여기 점근선이 있습니다
  • 5:28 - 5:30
    x가 2일 때 수직점근선이 있습니다
  • 5:30 - 5:34
    그래프를 왼쪽으로부터
  • 5:34 - 5:35
    쭉 따라가 보면
  • 5:35 - 5:37
    계속해서 따라가게 됩니다
  • 5:37 - 5:40
    영원히 따라갈 수 있습니다
  • 5:40 - 5:42
    왜냐하면 범위가 무한하고
  • 5:42 - 5:44
    계속 가면 갈수록
  • 5:44 - 5:46
    왼쪽으로부터 2에 무한히
    가까워지기 때문입니다
  • 5:46 - 5:49
    x가 2일 때 우극한의 경우에는
  • 5:49 - 5:51
    영원히 위쪽으로 향하게 됩니다
  • 5:51 - 5:53
    제가 계속 이 그래프를
    따라가 보더라도
  • 5:53 - 5:55
    그래프가 무한하게
    계속되기 때문에
  • 5:55 - 5:59
    우리 생애 내에서
  • 5:59 - 6:02
    이 그래프를 끝까지
    따라가는 것은 불가능하죠
  • 6:02 - 6:04
    하지만 여기서 여러분이
    이해해야 하는 것은
  • 6:04 - 6:09
    이 지점에서 이 지점까지
    연필을 들지 않고서는 갈 수 없고
  • 6:09 - 6:14
    우리의 극한의 정의와
    관련지어 본다면
  • 6:14 - 6:17
    좌극한과 우극한 모두
    무한하므로
  • 6:17 - 6:18
    두 극한값 모두 존재하지
    않는다고 볼 수 있습니다
  • 6:18 - 6:22
    극한값이 존재하지 않으면
    조건 또한 맞출 수 없죠
  • 6:22 - 6:28
    x가 왼쪽으로부터 2에 한없이
    가까워질 때
  • 6:28 - 6:31
    f(x)는 음의 방향으로 무한히
    진행하는 것을 볼 수 있습니다
  • 6:31 - 6:33
    이런 수를 본 적이 있을지 모르겠네요
  • 6:33 - 6:35
    마이너스 무한대 말입니다
  • 6:35 - 6:37
    완전히 정확한 표현은
    아니지만 말입니다
  • 6:37 - 6:41
    보다 정확하게는 무한하다고
    표현하는 것이 맞습니다
  • 6:41 - 6:43
    무한하다
  • 6:43 - 6:45
    이와 마찬가지로
  • 6:45 - 6:47
    x가 오른쪽으로부터
  • 6:47 - 6:49
    2에 한없이 가까워질 때
  • 6:49 - 6:50
    f(x)의 극한값은
  • 6:50 - 6:53
    플러스 무한대를 향해
    무한히 가까워집니다
  • 6:53 - 6:54
    아까와 마찬가지로
  • 6:54 - 6:56
    이 극한값 역시
  • 6:56 - 6:58
    무한합니다
  • 6:58 - 6:59
    그리고
  • 6:59 - 7:01
    이 식이 무한하고
    극한값이 존재하지 않으므로
  • 7:01 - 7:03
    이 조건을 맞출 수 없습니다
  • 7:03 - 7:05
    따라서 불연속성을 가집니다
  • 7:05 - 7:08
    즉 이것은 없앨 수 없는
    불연속성입니다
  • 7:08 - 7:10
    비약 불연속성, 즉 도약해야만
    연속되는 함수가 있는가 하면
  • 7:10 - 7:12
    이처럼 수직점근선이 있는
    경우도 있습니다
  • 7:12 - 7:15
    이것을 점근적 불연속성이라고
    부릅니다
Title:
Types of discontinuities | Limits and continuity | AP Calculus AB | Khan Academy
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:16

Korean subtitles

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