Całka nieoznaczona

Wprowadzenie do wyznaczania całki nieoznaczonej z wielomianów

Witam w prezentacji na temat całki nieoznaczonej

albo inaczej mówiąc funkcji pierwotnej.

Zacznijmy od małej powtórki

na temat pochodnych.

Chcę obliczyć pochodną d/dx.

To tylko operator różniczkowania.

Gdybym miał zróżniczkować wyrażenie

x do kwadratu- jest to łatwe jeśli pamiętasz

prezentację o pochodnych.

Po prostu bierzemy wykładnik.

Będzie on nowym współczynnikiem przy zmiennej x, prawda?

Właściwie to mnożymy go przez stary współczynnik, ale

w tym przypadku stary współczynnik to 1, więc 2 razy 1 daje 2.

I bierzemy zmienną x.

Teraz nowy wykładnik jest o jeden mniejszy

niż poprzedni wykładnik.

Mamy więc 2x do potęgi pierwszej, czyli po prostu 2x.

A więc to było łatwe.

Mając teraz y równe x do kwadratu, wiemy już, że

w każdym punkcie tej krzywej jej nachylenie jest równe 2x.

A gdybyśmy chcieli odwrócić pytanie?

Powiedzmy, że chcielibyśmy rozpocząć od 2x i stwierdzić,

pochodną jakiego wyrażenia jest 2x.

Cóż, znamy już odpowiedź na to pytanie, prawda?

Ponieważ przed chwilą obliczyliśmy pochodną x do kwadratu

i otrzymaliśmy 2x.

Przypuśćmy jednak, że nie wiemy tego z góry.

Prawdopodobnie dałoby się to rozwiązać z pomocą intuicji,

w jaki sposób można zrobić operację podobną jak przed chwilą,

w jaki sposób można to odwrócić.

Więc w tym przypadku notacja-- wiemy, że odpowiedź to x do kwadratu--

ale notacja wskazująca, że chodzi nam o znalezienie wyrażenia,

którego pochodną jest 2x-- powiedzmy, że 2x

jest pochodną y.

Więc 2x jest pochodną y.

Mamy zatem

y jest równe- i teraz podam pewną bardzo wyszukaną

notację i wyjaśnię, dlaczego używamy

tej właśnie notacji w kilku kolejnych prezentacjach.

W tym miejscu wystarczy tylko wiedzieć, co ta notacja oznacza,

co się pod nią kryje- a w istocie jest to przeciwieństwo różniczkowania

lub- inaczej mówiąc-znajdowanie funkcji pierwotnej, lub całka nieoznaczona.

Możemy więc powiedzieć, że y jest równe

całce nieoznaczonej z 2x dx.

Wyjaśnię, czym jest ta zakręcona linia i co to jest dx,

ale wszystko co musisz teraz wiedzieć, to że gdy widzisz tę zakręconą linię,

i to dx i coś pomiędzy nimi, wszystko co masz zrobić,

to znaleźć funkcję pierwotną, czyli taką,

której pochodną jest wyrażenie przed dx.

Później wyjaśnię, dlaczego jest to nazywane

całką nieoznaczoną.

W zasadzie ta notacja będzie dużo bardziej zrozumiała,

gdy pokażę, co to jest całka oznaczona.

Na razie przyjmijmy po prostu,

że całka nieoznaczona--którą właśnie tu narysowałem

jako mały zawijas-- to funkcja pierwotna.

A więc y jest równe funkcji pierwotnej

lub całce nieoznaczonej z wyrażenia 2x.

A więc czemu jest równe y?

Coż, y jest oczywiście równe x do kwadratu.

Pozwól, że zadam pytanie.

Czy y jest równe dokładnie x do kwadratu?

Bo wyznaczyliśmy pochodną i oczywiście

pochodna z x do kwadratu to 2x.

Ale jaka jest pochodna wyrażenia

x do kwadratu plus 1?

Cóż, pochodna z x do kwadratu to wciąż 2x.

Jaka jest pochodna 1?

Tak, pochodna jedynki to 0, więc mamy 2x plus 0

lub po prostu 2x.

Podobnie, jaka jest pochodna x do kwadratu plus 2?

Pochodna x do kwadratu plus 2

to znów 2x plus 0.

Zauważ więc, że pochodna wyrażenia x do kwadratu plus

dowolna stała to 2x.

Stąd y może być równe x do kwadratu plus jakakolwiek stała.

By oznaczyć dowolną stałą, piszemy duże C w tym miejscu.

Więc mamy x do kwadratu plus C.

Spotkasz wielu nauczycieli, którzy ocenią Twoje rozwiązanie jako błędne,

jeśli zapomnisz dodać stałą C podczas

wyznaczania całki nieoznaczonej.

Możesz teraz powiedzieć: OK Sal, pokazałeś mi jakąś notację,

przypomniałeś, że pochodna dowolnej stałej to 0,

ale to nie pomaga mi wcale w wyznaczaniu

całki nieoznaczonej.

Cóż, pomyślmy teraz o bardziej

systematycznym sposobie wyznaczania

całki nieoznaczonej.

Pozwól, że to wyczyszczę.

Myślę, że bardziej wyrazisty kolor uczyni to ciekawszym.

Powiedzmy y jest równe całce nieoznaczonej z--

podam w tym miejscu coś ciekawego.

Powiedzmy całka nieoznaczona z x do sześcianu dx.

Chcemy więc znaleźć funkcję, której pochodna

to x do potęgi trzeciej.

Jak możemy to zrobić?

Intuicyjnie czujesz pewnie, że będzie to prawdopodobnie

coś razy x to którejś potęgi, prawda?

No więc zapiszmy y równa się A razy x do potęgi n-tej.

Teraz jaka jest pochodna dy/dx?

Nayczyliśmy się tego w module na temat pochodnych.

Bierzesz wykładnik i mnożysz go przez współczynnik.

A więc mamy A razy n.

Następnie mamy x do potęgi n-1.

W tej sytuacji to wyrażenie jest równe x do sześcianu,

czyli pochodnej y.

To jest równe x do sześcianu.

Teraz musimy znaleźć A i n.

Cóż, łatwo jest odgadnąć n.

n-1 jest równe 3.

To oznacza, że n równa się 4.

Ile wynosi A?

Mamy A razy n równa się 1, bo jedynka

jest początkowym współczynnikiem.

Więc n razy A to 1.

Jeśli n to 4, to A musi być równe 1/4.

Więc korzystając tylko z definicji pochodnej,

znaleźliśmy y.

y jest równe 1/4 razy x do potęgi czwartej.

Być może zaczynasz już dostrzegać pewien wzór.

W jaki sposób z x do sześcianu otrzymaliśmy

1/4 razy x do czwartej?

Cóż, zwiększyliśmy wykładnik o 1 i jakikolwiek jest ten nowy

wykładnik, mnożymy to przez 1 przez jego odwrotność.

Pomyślmy, czy można zapisać tu jakąś ogólną regułę.

Och, i oczywiście plus C.

Oblałbym ten ogzamin.

Sformułujmy ogólną regułę: gdy mamy całkę nieoznaczoną z--

już użyliśmy A, więc weźmy B--

B razy x do potęgi n-tej dx.

Jaka jest ta całka?

To jest symbol całki.

Reguła mówi, że zwiększam wykładnik przy x o 1, więc

będzie to x do potęgi n plus 1.

I następnie mnożę to przez odwrotność tej liczby.

Więc razy 1 przez n plus 1.

I oczywiście cały czas mam tutaj to B.

Pewnego dnia pokażę bardziej ścisły dowód

dlaczego to B

zostawiamy tu i przemnażamy.

Właściwie nie muszę ściśle tego pokazywać, jeśli tylko

pamiętasz jak się różniczkuje- po prostu

mnożysz to przez wykładnik minus 1.

Stąd tutaj mnożymy współczynnik przez

1 przez wykładnik plus 1.

To po prostu operacja odwrotna.

Zróbmy więc szybko jakiś przykład.

Mamy jeszcze chwilę.

Myślę, że przykłady naprawdę

wszystko wyjaśniają.

Chcemy znaleźć całkę nieoznaczoną z

5 razy x do potęgi siódmej dx.

Więc biorę wykładnik i zwiększam go o 1.

Dostaję x do potęgi ósmej, następnie mnożę współczynnik

przez odwrotność nowego wykładnika.

Mamy więc 5/8 razy x do potęgi ósmej.

Jeśli mi nie wierzysz, wyznacz pochodną tego wyrażenia.

Wyznacz pochodną d/dx z 5/8 x do ósmej.

Mnożysz 8 przez 5/8.

To daje 5 x do-- teraz nowy wykładnik to

8 minus 1-- 5 razy x do potęgi siódmej.

Och, i oczywiście plus C.

Nie zapominajmy dodać stałej C.

Myślę, że masz teraz wyczucie, jak to działa.

W następnej prezentacji pokażę garść innych

przykładów a także pokażę jak można

odwrócić regułę łańcuchową.

Później nauczymy się całkować przez części, co

w istocie jest odwróceniem reguły różniczkowania iloczynu.

Do zobaczenia w następnej prezentacji