< Return to Video

Washer method rotating around non-axis

  • 0:01 - 0:03
    Хайде да решим една
    наистина интересна задача.
  • 0:03 - 0:08
    Имаме у = х и у = х^2 – 2х.
  • 0:08 - 0:11
    Ще завъртим тази областта
    между графиките на тези две функции.
  • 0:11 - 0:13
    Това е тази област ето тук.
  • 0:13 - 0:16
    Но няма да я завъртим
    около оста х,
  • 0:16 - 0:19
    а ще я завъртим около
    хоризонталната права у = 4.
  • 0:19 - 0:21
    Значи завъртаме около
    тази права.
  • 0:21 - 0:24
    Ако направим това,
    ще получим тяло, подобно на това.
  • 0:24 - 0:27
    Нарисувах го предварително,
    така че да го направя хубаво.
  • 0:27 - 0:30
    Както виждаш, прилича
    на някаква саксия,
  • 0:30 - 0:32
    която има дупка на дъното.
  • 0:32 - 0:35
    Сега ще се опитаме
    да използваме
  • 0:35 - 0:36
    метода на пръстена, който
  • 0:36 - 0:38
    е вариант на метода на диска.
  • 0:38 - 0:40
    Да си представим един пръстен.
  • 0:40 - 0:42
    Да вземем някаква
    стойност на х.
  • 0:42 - 0:46
    Нека да е това х ето тук.
  • 0:46 - 0:48
    Нека да е това х ето тук.
  • 0:48 - 0:50
    Сега ще завъртим тази област.
  • 0:50 - 0:54
    Ще има някаква дебелина, dх.
  • 0:54 - 0:55
    Това е fх.
  • 0:55 - 0:58
    Ще го завъртим около
    правата у = 4.
  • 0:58 - 1:03
    Когато го чертая тук, има
    някаква дебелина.
  • 1:03 - 1:05
    Когато завъртим около това,
    вътрешният радиус
  • 1:05 - 1:08
    ще прилича на вътрешния
    радиус на пръстена.
  • 1:08 - 1:12
    Ще изглежда ето така.
  • 1:12 - 1:14
    После външният радиус
    на пръстена
  • 1:14 - 1:17
    ще се определя от х^2 – 2х.
  • 1:17 - 1:22
    Ще изглежда...
  • 1:22 - 1:24
    старая се максимално –
  • 1:24 - 1:28
    ще изглежда приблизително така.
  • 1:28 - 1:31
    И нашият пръстен, разбира се,
    ще има някаква дебелина.
  • 1:31 - 1:32
    Ще начертая тази дебелина.
  • 1:32 - 1:36
    Ще има дебелина dх.
  • 1:36 - 1:40
    Това е най-добрият ми
    опит да покажа тази дебелина.
  • 1:40 - 1:43
    Това е дебелината на пръстена.
  • 1:43 - 1:45
    Сега ще направя основата на
    пръстена малко по-ясна,
  • 1:45 - 1:47
    ще използвам това зелено.
  • 1:47 - 1:52
    Основата на пръстена ще
    бъде ето това нещо.
  • 1:52 - 1:57
    Всичко това ще бъде
    основата на пръстена.
  • 1:57 - 1:59
    Ако можем да намерим
    обема на един от тези пръстени
  • 1:59 - 2:01
    за дадена стойност на х, тогава
  • 2:01 - 2:03
    можем да сумираме всички
    обеми на всички пръстени
  • 2:03 - 2:06
    за всяко х в този интервал.
  • 2:06 - 2:08
    Да видим какъв ще бъде
    интегралът
  • 2:08 - 2:10
    и в следващото видео може би
  • 2:10 - 2:14
    ще се впуснем
    и ще изчислим този интеграл.
  • 2:14 - 2:16
    Да видим какъв
    е обемът на този пръстен.
  • 2:16 - 2:18
    Като разглеждаме обема
    на пръстена,
  • 2:18 - 2:21
    ние всъщност разглеждаме
    площта на основата на пръстена.
  • 2:22 - 2:26
    Площта на "основата" –
    слагам основа в кавички,
  • 2:27 - 2:28
    на колко ще е равна?
  • 2:28 - 2:31
    Площта на основата на пръстена...
  • 2:31 - 2:33
    Ако това не беше пръстен,
    ако беше монета,
  • 2:33 - 2:35
    и от нея извадим
    площта на тази част,
  • 2:35 - 2:36
    която изрязваме.
  • 2:36 - 2:41
    Площта на пръстена, ако
    няма отвор в средата,
  • 2:41 - 2:48
    щеше да е пи по квадрата
    на външния радиус.
  • 2:48 - 2:51
    Щеше да е пи по
    квадрата на радиуса,
  • 2:51 - 2:53
    който можем да наречем
    външен радиус.
  • 2:53 - 2:55
    Но понеже това е пръстен,
    трябва да извадим
  • 2:55 - 2:57
    площта на вътрешния кръг.
  • 2:57 - 3:06
    Значи минус пи по квадрата
    на вътрешния радиус.
  • 3:06 - 3:07
    Така че трябва само да намерим
  • 3:07 - 3:11
    външния и вътрешния радиус,
    тези двата радиуса.
  • 3:11 - 3:13
    Да помислим върху това.
  • 3:13 - 3:20
    Значи външният радиус
    ще е равен на колко?
  • 3:20 - 3:21
    Можем да го видим ето тук.
  • 3:21 - 3:24
    Това е външният радиус,
    който също така
  • 3:24 - 3:28
    е равен на този тук.
  • 3:28 - 3:32
    Това е разстоянието между
    у = 4 и функцията, която
  • 3:32 - 3:34
    дефинира външната
    част на тялото.
  • 3:34 - 3:42
    Това практически е
    тази височина тук,
  • 3:42 - 3:45
    тя е равна на 4 – (х^2 – 2х).
  • 3:45 - 3:49
    Просто намирам разстоянието
    или височината между тези две функции.
  • 3:49 - 3:52
    Другият радиус ще бъде
    4 пъти това,
  • 3:52 - 3:55
    минус (х^2 – 2х),
    което е просто
  • 3:55 - 3:59
    4 – х^2 + 2х.
  • 3:59 - 4:05
    А колко е вътрешният
    радиус?
  • 4:05 - 4:07
    На колко е равен?
  • 4:07 - 4:12
    Това ще бъде разстоянието
    между
  • 4:12 - 4:13
    у = 4 и у = х.
  • 4:13 - 4:19
    Значи ще бъде 4 – х.
  • 4:19 - 4:23
    За да намерим площта
    на основата на
  • 4:23 - 4:27
    един от тези пръстени за
    дадено х, трябва...
  • 4:27 - 4:30
    като можем да изнесем
    пред скоби пи...
  • 4:30 - 4:35
    ще бъде пи по
    квадрата на външния радиус,
  • 4:35 - 4:37
    който е целият този израз
    на квадрат.
  • 4:37 - 4:42
    Ще бъде (4 – х^2 + 2х)^2
  • 4:42 - 4:43
    минус пи по вътрешния радиус,
  • 4:43 - 4:45
    всъщност ние изнесохме
    пред скоби пи,
  • 4:45 - 4:47
    минус квадрата на
    вътрешния радиус.
  • 4:47 - 4:52
    Значи минус (4 – х)^2.
  • 4:52 - 4:58
    Това ни дава площта
    на основата
  • 4:58 - 4:59
    на един от тези пръстени.
  • 4:59 - 5:02
    За да намерим обема
    на един от тези пръстени,
  • 5:02 - 5:07
    трябва да умножим това
    по дебелината, по dх.
  • 5:08 - 5:11
    За да намерим обема
    на цялото това тяло,
  • 5:11 - 5:14
    трябва само да сумираме
    обемите на тези пръстени
  • 5:14 - 5:17
    за всяка стойност на х.
    Да го направим.
  • 5:17 - 5:19
    Ще сумираме обемите
    на всички пръстени
  • 5:19 - 5:21
    за всяко х ще вземем границата,
    когато клонят към нула.
  • 5:21 - 5:23
    Но първо да съставим вярно
    нашия интеграл.
  • 5:23 - 5:26
    Какви са тези...
    интересува ни цялата тази област
  • 5:26 - 5:29
    между точките на пресичане
    на графиките на двете функции.
  • 5:29 - 5:31
    Да определим интервала.
  • 5:31 - 5:32
    За да определим интервала,
  • 5:32 - 5:40
    определяме кога у = х пресича
    у = х^2 – 2х.
  • 5:40 - 5:42
    Ще използвам различен цвят.
  • 5:42 - 5:49
    Търсим само кога
    х = х^2 – 2х.
  • 5:49 - 5:51
    Кога двете функции са равни?
  • 5:51 - 5:53
    Това означава, че...
  • 5:53 - 5:58
    ако извадим х от двете страни,
  • 5:58 - 6:02
    получаваме кога
    х^2 – 3х е равно на 0.
  • 6:02 - 6:05
    Можем да изнесем пред скоби
    х отдясно.
  • 6:05 - 6:10
    Получаваме х(х – 3) = 0.
  • 6:10 - 6:12
    Това произведение е равно на
    нула, когато
  • 6:12 - 6:13
    поне един от членовете е нула.
  • 6:13 - 6:18
    Значи х може да е равно на 0,
    или (х – 3) може да е равно на 0.
  • 6:18 - 6:21
    Значи х е равно на 0 или на 3.
  • 6:21 - 6:26
    Значи тук х е равно на 0,
    а ето тук х е равно на 3.
  • 6:26 - 6:27
    Така получихме интервала.
  • 6:27 - 6:30
    Интервалът е от х = 0 до х = 3,
  • 6:30 - 6:33
    за да сметнем обема.
  • 6:33 - 6:37
    В следващото видео
    ще сметнем интеграла.
Title:
Washer method rotating around non-axis
Description:

more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:37

Bulgarian subtitles

Revisions