-
Хайде да решим една
наистина интересна задача.
-
Имаме у = х и у = х^2 – 2х.
-
Ще завъртим тази областта
между графиките на тези две функции.
-
Това е тази област ето тук.
-
Но няма да я завъртим
около оста х,
-
а ще я завъртим около
хоризонталната права у = 4.
-
Значи завъртаме около
тази права.
-
Ако направим това,
ще получим тяло, подобно на това.
-
Нарисувах го предварително,
така че да го направя хубаво.
-
Както виждаш, прилича
на някаква саксия,
-
която има дупка на дъното.
-
Сега ще се опитаме
да използваме
-
метода на пръстена, който
-
е вариант на метода на диска.
-
Да си представим един пръстен.
-
Да вземем някаква
стойност на х.
-
Нека да е това х ето тук.
-
Нека да е това х ето тук.
-
Сега ще завъртим тази област.
-
Ще има някаква дебелина, dх.
-
Това е fх.
-
Ще го завъртим около
правата у = 4.
-
Когато го чертая тук, има
някаква дебелина.
-
Когато завъртим около това,
вътрешният радиус
-
ще прилича на вътрешния
радиус на пръстена.
-
Ще изглежда ето така.
-
После външният радиус
на пръстена
-
ще се определя от х^2 – 2х.
-
Ще изглежда...
-
старая се максимално –
-
ще изглежда приблизително така.
-
И нашият пръстен, разбира се,
ще има някаква дебелина.
-
Ще начертая тази дебелина.
-
Ще има дебелина dх.
-
Това е най-добрият ми
опит да покажа тази дебелина.
-
Това е дебелината на пръстена.
-
Сега ще направя основата на
пръстена малко по-ясна,
-
ще използвам това зелено.
-
Основата на пръстена ще
бъде ето това нещо.
-
Всичко това ще бъде
основата на пръстена.
-
Ако можем да намерим
обема на един от тези пръстени
-
за дадена стойност на х, тогава
-
можем да сумираме всички
обеми на всички пръстени
-
за всяко х в този интервал.
-
Да видим какъв ще бъде
интегралът
-
и в следващото видео може би
-
ще се впуснем
и ще изчислим този интеграл.
-
Да видим какъв
е обемът на този пръстен.
-
Като разглеждаме обема
на пръстена,
-
ние всъщност разглеждаме
площта на основата на пръстена.
-
Площта на "основата" –
слагам основа в кавички,
-
на колко ще е равна?
-
Площта на основата на пръстена...
-
Ако това не беше пръстен,
ако беше монета,
-
и от нея извадим
площта на тази част,
-
която изрязваме.
-
Площта на пръстена, ако
няма отвор в средата,
-
щеше да е пи по квадрата
на външния радиус.
-
Щеше да е пи по
квадрата на радиуса,
-
който можем да наречем
външен радиус.
-
Но понеже това е пръстен,
трябва да извадим
-
площта на вътрешния кръг.
-
Значи минус пи по квадрата
на вътрешния радиус.
-
Така че трябва само да намерим
-
външния и вътрешния радиус,
тези двата радиуса.
-
Да помислим върху това.
-
Значи външният радиус
ще е равен на колко?
-
Можем да го видим ето тук.
-
Това е външният радиус,
който също така
-
е равен на този тук.
-
Това е разстоянието между
у = 4 и функцията, която
-
дефинира външната
част на тялото.
-
Това практически е
тази височина тук,
-
тя е равна на 4 – (х^2 – 2х).
-
Просто намирам разстоянието
или височината между тези две функции.
-
Другият радиус ще бъде
4 пъти това,
-
минус (х^2 – 2х),
което е просто
-
4 – х^2 + 2х.
-
А колко е вътрешният
радиус?
-
На колко е равен?
-
Това ще бъде разстоянието
между
-
у = 4 и у = х.
-
Значи ще бъде 4 – х.
-
За да намерим площта
на основата на
-
един от тези пръстени за
дадено х, трябва...
-
като можем да изнесем
пред скоби пи...
-
ще бъде пи по
квадрата на външния радиус,
-
който е целият този израз
на квадрат.
-
Ще бъде (4 – х^2 + 2х)^2
-
минус пи по вътрешния радиус,
-
всъщност ние изнесохме
пред скоби пи,
-
минус квадрата на
вътрешния радиус.
-
Значи минус (4 – х)^2.
-
Това ни дава площта
на основата
-
на един от тези пръстени.
-
За да намерим обема
на един от тези пръстени,
-
трябва да умножим това
по дебелината, по dх.
-
За да намерим обема
на цялото това тяло,
-
трябва само да сумираме
обемите на тези пръстени
-
за всяка стойност на х.
Да го направим.
-
Ще сумираме обемите
на всички пръстени
-
за всяко х ще вземем границата,
когато клонят към нула.
-
Но първо да съставим вярно
нашия интеграл.
-
Какви са тези...
интересува ни цялата тази област
-
между точките на пресичане
на графиките на двете функции.
-
Да определим интервала.
-
За да определим интервала,
-
определяме кога у = х пресича
у = х^2 – 2х.
-
Ще използвам различен цвят.
-
Търсим само кога
х = х^2 – 2х.
-
Кога двете функции са равни?
-
Това означава, че...
-
ако извадим х от двете страни,
-
получаваме кога
х^2 – 3х е равно на 0.
-
Можем да изнесем пред скоби
х отдясно.
-
Получаваме х(х – 3) = 0.
-
Това произведение е равно на
нула, когато
-
поне един от членовете е нула.
-
Значи х може да е равно на 0,
или (х – 3) може да е равно на 0.
-
Значи х е равно на 0 или на 3.
-
Значи тук х е равно на 0,
а ето тук х е равно на 3.
-
Така получихме интервала.
-
Интервалът е от х = 0 до х = 3,
-
за да сметнем обема.
-
В следващото видео
ще сметнем интеграла.
Khan Academy
