45-45-90 Triangle Side Ratios

في العرض قمت بتوضيح ان نسب الاضلاع المقابلة للزوايا 30-60-90، اذا افترضنا ان

اطول ضلع هو X، اي ان الوتر X، فإن اقصر ضلع سيكون X/2، والضلع الاوسط

اي الضلع المقابل للزاوية التي قياسها 60 درجة يساوي الجذر التربيعي لـ 3 × X/2

وبطريقة اخرى، هي اذا كان اقصر ضلع يساوي 1، وسأفعل الضلع الاقصرثم الضلع الاوسط

اذا كان الضلع المقابل للزاوية 30 درجة يساوي 1 بالتالي فإن الضلع المقابل

لزاوية 60 درجة سيساوي الجذر التربيعي لـ 3 × ذلك، اذاً سيكون الجذر التربيعي لـ 3، ثم ان

الوتر سيكون ضعف ذلك. بدأنا في العرض الاخير بـ X وقلنا ان

الضلع المقابل لزاوية 30 درجة يساوي X/2، لكن اذا الضلع المقابل لزاوية 30 درجة يساوي 1، بالتالي سيكون ضعف ذلك اي

سيكون 2. هذا هو الضلع المقابل المقابل لزاوية 30 درجة، والمقابل لزاوية 60 درجة

ومن ثم المقابل للوتر، اي مقابل الزاوية 90 درجة

وبشكل عام، اذا رأيتم مثلثاً يمتلك هذه النسب، فتقول ان هذا مثلث قياس زواياه 30-60-90

او اذا رأيتم مثلث انتم تعلمون ان قياس زواياه 30-60-90 فيمكنكم ان تقولوا، اعلم كيف اجد

واحداً من الاضلاع، استناداً الى هذه النسبة، وكمثال:

اذا رأيتم مثلثاً كهذا، حيث ان اطوال اضلاعه 2، 2 الجذر التربيعي لـ 3، و4

مرة اخرى فإن نسبة 2 الى 2 الجذر التربيعي لـ 3 تساوي 1 الى الجذر التربيعي لـ 3

نسبة 2:4 تعادل 1:2، فهذا يجب ان يكون مثلث قياس زواياه 30-60-90

ما ارغب بتوضيحه لكم في هذا العرض هو نوع آخر مهم من المثلثات التي تتواجد بكثرة

في الهندسة، وفي علم المثلثات، وهي المثلثات التي قياس زواياها 45-45-90

او بطريقة اخرى للتفكير، اذا كان لدي مثلث قائم واضافة الى ذلك متساوي الساقين

مثلث قائم ومتساوي الساقين

وبكل وضوح فإنه لا يمكنك الحصول على مثلث قائم متساوي الاضلاع

لأن المثلث متساوي الاضلاع جميع، جميع زواياه قياساتها 60 درجة

لكن يمكنكم الحصول على زاوية قائمة، يمكنكم الحصول على زاوية قائمة في المثلث متساوي الساقين

المثلثات متساوية الساقين، دعوني اكتب هذا، هذا مثلث قائم متساوي الساقين، مثلث متساوي الساقين

واذا كان مثلث ما متساوي الساقين فهذا يعني ان ضلعان منه متساويان في الطول

اذاً هذان الضلعان متساويان

ثم اذا كان الضلعان متساويان، لقد اثبتنا ان زوايا القاعدة تكون متساوية

اذا سمينا قياس زوايا القاعدة هذه بـ X، الآن نحن نعلم ان X+X+90

يجب ان يساوي 180، X+X+90 يجب ان يساوي 180

او اذا طرحنا 90 من كلا الطرفين، سنحصل على X+X = 90

او 2X = 90، او اذا قسمنا كلا الطرفين على 2، سنحصل على X = 45 درجة

اذاً المثلث القائم والمتساوي الساقين يمكن ان يسمى ايضاً، وهذا هو الاسم المثالي له:

يمكن ان يسمى ايضاً بالمثلث الذي قياس زواياه 45-45-90

وما اريد فعله في هذا العرض، هو الحصول على نسب الاضلاع

المقابلة للزوايا 45-45-90

وهذا مباشراً اكثر

لانه في المثلثات التي قياسات زواياها 45-45-90، اذا سمينا كل من، اذا سمينا واحدة

من الساقين بـ X، فالساق الآخر ايضاً سيكون X

ثم يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لايجاد طول

الوتر

اذاً دعونا نسمي طول الوتر بـ C

فنحصل على X^2 + X^2، هذا مربع كل ساق

وعندما نحصل على مجموعهما سيكون الناتج C^2

هذه هي نظرية فيثاغورس بشكلها العام

نحصل على 2X^2 = C^2

يمكننا ان نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين

اريد ان اغير اللون الى الاصفر، ولا يسمح لي..حسناً

حسناً، C^2، الآن دعونا نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين

الجذر التربيعي لكلا الطرفين

نحصل في الجانب الايسر على الجذر التربيعي لـ 2، وتبقى كما هي الجذر التربيعي لـ 2

ثم الجذر التربيعي لـ X^2 يكون X

اذاً سنحصل على X × الجذر التربيعي لـ 2 = C

اذا كان لدينا مثلث قائم متساوي الساقين، مهما كان طول الساقين

فسيكونان متساويان، ولهذا السبب هو متساوي الساقين

الوتر سيكون طوله الجذر التربيعي لـ 2 × ذلك

اذاً C يساوي X × الجذر التربيعي لـ 2

على سبيل المثال، اذا كان لدينا مثلث كهذا

دعوني ارسمه بطريقة مختلفة بعض الشيئ

من الجيد ان نتعرف على طرق جديدة في كل مرة

اذا رأينا مثلثاً قياس زواياه 90 درجة، 45 و 45 هكذا

وعليك ان تعرف قياس اثنان من هذه الزوايا حتى تعرف قياس الاخيرة

كم سيكون

واذا اخبرتكم ان هذا الضلع قياسه 3

وفي الواقع، لا يتوجب علي ان اخبركم ان الضلع الآخر هذا سيكون 3 ايضاً

هذا مثلث متساوي الساقين، اي ان قياسات ساقاه متساوية

ولا يتوجب عليك ان تطبق نظرية فيثاغورس اذا كنت تعلم هذا

هذا الشيئ من الجيد ان تعرفه

ان الوتر هنا، اي الضلع المقابل للزاوية التي قياسها 90 درجة

سيكون الجذر التربيعي لـ 2 × طول اي واحدة من الساقين

اذاً سيكون 3 × الجذر التربيعي لـ 2

اذاً نسبة الاضلاع والوتر في المثلثات التي قياس زواياها 45-45-90

او المثلث القائم متساوي الساقين

نسبة الاضلاع هي: واحدة من الساقين ستكون 1

بالتالي فإن الساق الآخر سيكون له نفس القياس

ثم الوتر سيكون الجذر التربيعي لـ 2 × اي واحد من الساقين

1:1:الجذر التربيعي لـ 2

اذاً هذا 45-45-90، دعوني اكتب، هذا 45-45-90

تلك هي النسبة، وكمراجعة، اذا كان لديكم مثلث 30-60-90

فالنسب ستكون 1:الجذر التربيعي لـ 2:3

والآن سنقوم بتطبيق هذا على مجموعة من المسائل