45-45-90 Triangle Side Ratios

I den sidste video viste vi noget om forholdene mellem siderne i 30-60-90-trekanter.

Hvis den længste side, altså hypotenusen, er x, er den korteste side x over 2,

og siden modsat vinklen på 60 grader er kvadratroden af 3 gange x over 2.

Vi kan først tegne den korteste side, som her er 1.

Hvis siden modsat vinklen på 30 grader er 1,

er siden modsat vinklen på 60 grader kvadratroden af 3 gange 1.

Hypotenusen er det dobbelte af 1. I den sidste video sagde vi,

at hypotenusen var x, og så var den korteste side det halve, men her er det omvendt,

så hypotenusen er det dobbelte. Her er siden modsat vinklen på 30 grader,

siden modsat vinklen på 60 grader, og siden modsat den rette vinkel er hypotenusen.

Vi ved nu noget om 30-60-90-trekanter.

Hvis vi støder på sådan en i fremtiden og kun kender 1 af sidelængderne,

kan vi regne resten ud baseret på de forhold, vi kender.

En trekant kan for eksempel have siderne 2, 2 kvadratrødder af 3 og 4.

Forholdet mellem 2 og 2 kvadratrødder af 3 er det samme som mellem 1 og kvadratroden af 3.

Forholdet mellem 2 og 4 er det samme som mellem 1 og 2. Derfor må det her være en 30-60-90-trekant.

I den her video skal vi dog kigge på en anden vigtig type trekant.

Det er en 45-45-90-trekant.

Det er en retvinklet trekant, der også er ligebenet.

.

Der findes selvfølgelig ikke retvinklede trekanter,

der også er ligesidede, for ligesidede trekanter har 3 vinkler på 60 grader.

Vi kan dog godt have en retvinklet trekant, der er ligebenet.

.

At den er ligebenet betyder, at 2 af siderne er ens.

De er 2 sider er lig med hinanden.

Vi har tidligere bevist, at hvis 2 sider er ens, er grundvinklerne ens.

Hvis vi kalder grundvinklerne x, ved vi, at x plus x plus 90

er lig med 180 grader. Sådan er reglerne for trekanter.

Vi trækker 90 grader fra begge sider, får vi, at x plus x er lig med 90.

Det er det samme som 2x er lig med 90. Vi dividerer begge sider med 2, og så er x lig med 45.

En ligebenet retvinklet trekant

kan man altså også kalde en 45-45-90-trekant.

I den her video skal vi finde sideforholdene,

ligesom vi gjorde med 30-60-90-trekanterne.

Den her slags trekanter er faktisk nemmere.

I en 45-45-90-trekant er der nemlig 2 ens ben eller sider.

Der er 2 sider, der er x.

Vi kan nu bruge Pythagoras sætning til

at finde hypotenusens længde.

Lad os kalde hypotenusen for c.

x i anden plus x i anden.

Det er lig med c i anden.

Det har vi taget direkte fra Pythagoras sætning.

2x i anden er lig med c i anden.

Vi tager den positive kvadratrod af begge sider.

.

Vi tager den positive kvadratrod af begge sider af ligningen.

.

Kvadratroden af 2 er kvadratroden af 2 på venstre side.

Kvadratroden af x i anden er x.

x gange kvadratroden af 2 er lig med C.

I en ligebenet retvinklet trekant

er 2 af benene altid lige lange. Det er jo derfor, den er ligebenet.

Hypotenusen er kvadratroden af 2 gange det.

c er lig med x gange kvadratroden af 2.

Vi kan for eksempel støde på sådan en trekant her.

.

Det er altid godt at prøve mange forskellige eksempler.

Det er trekanter med vinkler på 90, 45 og 45 grader, vi snakker om.

Vi behøver kun kende 2 af vinklerne for at kende den tredje.

Sådan er det med alle trekanter.

Den her side er 3.

I så fald ved vi, at den anden side her også er 3.

Det er en ligebenet trekant, så de her sider er lige lange.

Vi behøver ikke bruge Pythagoras sætning for at

finde længden på den sidste side.

Hypotenusen, som er siden modsat den rette vinkel,

er lig med kvadratroden af 2 gange længden af en af de andre sider.

Den er lig med 3 gange kvadratroden af 2.

Det er altså forholdet mellem siderne

i en 45-45-90-trekant, som er en retvinklet ligebenet trekant.

Hvis den ene side er 1,

er den anden side det også.

I så fald er hypotenusen kvadratroden af 2 gange sidelængden.

1 til kvadratroden af 2.

Det her er en 45-45-90-trekant.

I en 30-60-90-trekant var forholdet

1 til kvadratroden af 3 til 2.

Nu er vi klar til at løse nogle opgaver med det her.