45-45-90 Triangle Side Ratios

I forrige video viste vi at forholdet
mellom siden i en 30-60-90-trekant,

hvis vi antar at den lengste siden er x,
så er den korteste siden x delt på 2,

og siden overfor 60-gradersvinkelen
er roten av 3 ganger x delt på 2.

En annen måte å tenke på det er:
Jeg skriver den korteste, den midterste,

og så den lengste siden. Hvis den korteste
siden, overfor 30-gradersvinkelen, er 1,

så blir siden overfor 60-gradersvinkelen
kvadratroten av 3 ganger det. Roten av 3.

Og hypotenusen blir to ganger det.
I forrige video startet vi med x og sa at

30-graderssiden er x delt på 2, men hvis
30-graderssiden er 1, så blir det

to ganger det, som er 2. Dette er siden
overfor 30-gradersvinkelen, overfor

60-gradersvinkelen, og så hypotenusen,
overfor 90-gradersvinkelen.

Så ser du en trekant med de forholdene,
da vet du at det er en 30-60-90-trekant.

Eller hvis du ser det du vet er en
30-60-90-trekant, så vet du hvordan

du skal finne ut sidene,
ut i fra dette forholdet.

Som et eksempel, hvis du ser en trekant
med sidene 2, 2 kvadratroten av 3, og 4,

igjen, forholdet mellom 2 og 2 ganger
kvadratroten av 3, er 1 til roten av 3.

Forholdet mellom 2 og 4 er det samme som 1
til 2; dette må være en 30-60-90-trekant.

I denne videoen vil jeg vise deg en annen
viktig type trekant som dukke opp mye

i geometri og trigonometri,
nemlig en 45-45-90-trekant.

Eller en rettvinklet trekant
som også er likebeinet.

En rettvinklet trekant som
også er likebeinet.

Du kan selvsagt ikke ha en rettvinklet
trekant som er likesidet,

fordi i en likesidet trekant må alle
vinklene være 60 grader.

Men du kan ha en rettvinklet trekant
som er likebeinet.

En rettvinklet, likebeinet trekant.

Hvis den er likebeinet
er to av sidene like.

Så disse to sidene er like.

Og hvis de to sidene er like, har vi vist
at de vinklene på bunnen er like.

Hvis vi kaller åpningen på dem x, vet vi
at x pluss x pluss 90 må være lik 180.

x pluss x pluss 90 må være lik 180.

Hvis vi trekker 90 fra begge sider får vi
x pluss x er lik 90, eller 2 x er lik 90.

Eller hvis du deler begge sider på 2,
får du at x er lik 45 grader.

Så en rettvinklet likesidet trekant kan
også kalles, og det er et vanligere navn,

kan også kalles en 45-45-90-trekant.

Og i denne siden vil jeg finne
forholdene mellom sidene

i en 45-45-90-trekant, som vi gjorde
for en 30-60-90-trekant.

Og denne er enklere, fordi i en
45-45-90-trekant, hvis vi kaller

den ene kateten x, så blir
den andre kateten også x,

og da kan vi bruke Pythagoras' teorem
for å finne lengden på hypotenusen.

La oss kalle lengden på hypotenusen c.

Så vi får x i andre pluss x i andre,
det er kvadratet av begge katetene,

så når vi legger dem sammen
må det bli lik c i andre.

Dette er rett fra Pythagoras' teorem.

Vi får 2 x i andre er lik c i andre.

Vi kan ta den kvadratroten på begge sider.

Jeg vil få det i gult.

Så tar vi kvadratroten på
begge sider av det.

På venstre side får du kvadratroten av 2,
som bare blir roten av 2,

og kvadratroten av x i andre blir bare x.

Så du får x ganger kvadratroten til 2,
er lik c.

Så hvis du har en rettvinklet likesidet
trekant, samme hva de to katetene er,

(de er like lange, siden den er likesidet)

blir hypotenusen
kvadratroten av 2 ganger det.

Så c er lik x ganger kvadratroten av 2.

For eksempel, hvis du har en trekant
som ser slik ut.

La meg tegne den litt annerledes.

Det er bra å måtte orientere oss litt
annerledes hver gang.

Hvis vi ser en trekant som er 90 grader,
45 og 45, slik,

og du trenger egentlig bare vite to av
vinklene for å vite hva den siste blir.

Hvis jeg fortalte at denne siden er 3...

Jeg trenger ikke fortelle at den
andre siden er 3.

Det er en likebeinet trekant,
så katetene blir like.

Og du trenger ikke en gang bruke
Pytagoras hvis du vet dette,

fordi hypotenusen, siden overfor
90-gradersvinkelen,

blir bare kvadratroten av 2 ganger
lengden på en av katetene.

Så dette blir 3 ganger kvadratroten av 2.

Så forholdet mellom katetene og
hypotenusen i en 45-45-90-trekant,

eller en rettvinklet likebeinet trekant,

Forholdet blir: En av katetene blir 1,

den andre kateten får samme lengde,

og hypotenusen blir kvadratroten av 2
ganger en av dem.

1 til 1 til kvadratroten av 2.

Så dette er 45-45-90, la meg skrive det.
45-45-90.

Det er forholdene. Og for å repetere,
hvis du har 30-60-90, ble forholdene

1 til kvadratroten av 3 til 2.
Og nå skal vi bruke dette i masse oppgaver