45-45-90 Triangle Side Ratios

在上一个视频中，我们讲了

一个 30-60-90 的三角形的边长比

如果我们假设最长的边是 x ，

如果斜边是 x ，

那么最短的边长就是 x/2，而这两个边之间的边，

也就是60°角的对边，

边长是 3 的平方根 乘以 x/2。

或者用另一种方法考虑，如果最短的边是 1，

我先考虑最短的边，然后是长度居中的边，

然后是最长的边。

如果30°角对面的边长是 1，

那么60°角对面的边长

就是 它的3倍的平方根。

它就是 3 的平方根。

然后，斜边是它的2倍。

上一个视频中，我们从 x 开始，

我们说 30°对面的边是 x/2。

但是，如果 30° 对面的边是 1，

那么这条边就是它的 2倍。

它就是 2。

这里就是30°对面的边，

60°对面的边，和斜边，也就是

90°对面的边。

一般来说，如果你看到

任何三角形有这样的边长比，你就可以说，那是一个 30-60-90 的三角形。

或者，你看到一个三角形，

并且知道它是一个 30-60-90 的三角形，你就可以说

我知道怎样根据这个边长比

计算出一个边长。

比如，如果你看到这样的一个三角形，

它的边长是 2，2乘以3的平方根，

和 4，

再说一遍，2 ：2乘以3的平方根，

就是 1：3的平方根

2 ： 4 就是 1：2，

这个三角形一定是一个 30-60-90 三角形。

在今天 视频里，

我要给你们介绍另一类三角形，

在几何和三角学中，我们会遇到很多这样的三角形。

这就是 45-45-90 三角形。

另一种考虑的方法是，

如果有一个直角，而它又是一个等腰三角形，

显然，不会有一个直角三角形是等边三角形，

因为等边三角形的三个角

都是 60°。

但是可以有一个直角，

有一个直角三角形，它是等腰的。

等腰--我写下来--

这是一个直角等腰三角形。

如果它是等腰三角形，就意味着

有两条边是相等的。

这是两条相等的边。

如果这两条边相等，

我们已经证明过，这两个底角是相等的。

如果我们叫这两个底角的角度是 x ，

那么，我们知道， x + x + 90 一定是 180。

或者说，如果我们从两边减去 90，

就得到 x + x = 90 或者 2x =90。

如果两边除以 2，

就得到 x = 45°。

所以，一个直角等腰三角形也可以被叫做 --

这是它更加典型的叫法--

它也可以被叫做 45-45-90 三角形。

而在今天的视频中，要讲一讲

45-45-90 三角形的边长比。

就像我们曾经讨论过的30-60-90 三角形，

而这个实际上更简单。

因为对于一个 45-45-90 三角形，如果我们叫一个边长为 x ，

另一个边长也是 x 。

然后，根据勾股定理，

来计算出斜边的长度。

那么，斜边的长度，我们叫它 c ，

我们有， x 平方 + x 平方

这是这两个边长的平方，

我们把它们相加，

就等于 c 平方。

这完全是由勾股定理得到的。

我们得到，2 x平方等于 c 平方。

我们对两边取主根，

我想把它变成黄色。

两边取主根，

左边得到 2 的平方根，

也就是根号 2，

x 平方的主根就是 x 。

你就有 x 乘以 2 的平方根

等于 c 。

如果你有一个直角等腰三角形，

不管这两条边是多长，它们长度相等。

这就是为什么说它是等腰的。

斜边的长度是 2 的平方根乘以它的长度。

因此，c 等于 x 乘以 2 的平方根。

比如，你有一个这样的三角形，

让我用另一种方法来画它，

每次都能让自己使用不同的方式

是有益处的。

如果我们看到一个三角形，这是90°，

像这样，45 和 45 ，

你需要知道这两个角，

知道另一个角是什么，

如果我告诉你，这里这个边

是 3，我甚至不需要告诉你

另一条边也是 3，

这是一个等腰三角形，

所以这两条边是相等的。

你甚至不需使要用勾股定理，

如果你知道这个公式，它很有用。

就知道这个斜边，这个90°对面的边，

就是 2 的平方根

乘以任何一个边的长度。

所以它就是 3 乘以 2 的平方根。

那么它的斜边的长度比就是--

对于一个 45-45-90 的三角形，或者叫直角等腰三角形，

它的边长的比例是： 一个腰的边长是 1，

另一个腰的边长长度有相同的长度，

有相同的长度，而斜边的长度是

2的平方根乘以任何一个腰的长度。

1 : 1 : 2 的平方根

这是 45-45-90，

这是它的边长比，

我们复习一下，如果你有一个 30-60-90

边长比就是 1： 根号3 ： 2。

我们可以用它来解决很多问题。