-
In de laatste video, hadden we deze rechthoek, en gebruikten we een driedubbele
-
integraal om het volume ervan te vinden.
-
En ik weet dat je waarschijnlijk denkt, oké, maar ik haf ook gewoon
-
de hoogte kunnen vermenigvuldigen met
-
de breedte en de diepte.
-
En dat is waar, want dit was een constante-gewaardeerde functie.
-
En zodra we integreerden
-
met betrekking tot z, kregen we een dubbele integraal, en dat is
-
precies wat we in de afgelopen video's hebben gedaan
-
toen we het volume onder een oppervlak bespraken.
-
Maar het einde van de video bevatte iets nieuws.
-
We zeiden, oké, je had het volume
-
ook makkelijker kunnen berekenen
-
met behulp van methoden die je al kent.
-
Maar wat als ons doel niet is om het volume te berekenen?
-
Ons doel was om de massa van dit volume te berekenen, en verder,
-
de stof waarvan we het volume meten--of
-
het een gas of een volume van een vaste stof is--heeft
-
geen constante dichtheid.
-
Dus nu wordt de massa --zeg maar--
-
interessant om te berekenen.
-
En dus, wat we hebben beschreven, namelijk een dichtheidsfunctie.
-
En rho, de letter die lijkt op een p met een bochtige bodem--
-
geeft ons de dichtheid op een bepaald punt.
-
En aan het einde van de laatste video zeiden wij:
-
Dus, wat is massa?
-
Massa is simpelweg dichtheid keer volume.
-
Maar er is een andere manier om massa te bekijken.
-
Dichtheid is het zelfde als massa verdeeld door volume.
-
Dus de massa rond een zeer, zeer kleine punt, en we genoemd dat
-
d massa, het differentieel van de massa, staat gelijk aan de
-
dichtheid op dat punt, of de ruwe dichtheid op precies dat
-
punt, keer de differentiaal van het volume rond dat punt,
-
keer het volume van deze kleine kleine kubus.
-
En dan, zoals we zagen in de laatste video, als je
-
rechthoekig coördinaten gebruikt, dan is dit volume differentiaal
-
hetzelfde als de afstand x keer de y afstand keer de z afstand.
-
Dus, de dichtheid was dat onze dichtheidsfunctie is gedefinieerd
-
als x, y, en z, en we wilden uitzoeken wat
-
de massa is van dit volume.
-
En laten we zeggen dat onze x, y, en z-coördinaten--hun
-
waarden, laten we zeggen ze in meter zijn en laten we zeggen dat de
-
dichtheid in kilogram per vierkante meter is.
-
Ons antwoord is dus in kilogram.
-
En dat zijn soort van de traditionele Si-eenheden.
-
Dus laten we de massa van dit variabel dichte volume uitzoeken.
-
Dus we hebben hier bovenaan hetzelfde integraal.
-
Daarom zal het massa differentiaal dus deze waarde hebben,
-
dus laten we dat onderaan opschrijven.
-
Het is x--ik willen ervoor zorgen dat ik genoeg ruimte heb.
-
XYZ keer-- en ik ga het eerst integreren met
-
betrekking tot dz.
-
Maar de volgorde maakt eigenlijk niet uit.
-
Misschien laat ik u dat zien in de volgende video.
-
Wij doen eerst dz, daarna dy, en als laatste dx.
-
Nogmaals, dit is gewoon de massa op een kleine
-
differentieel van volume.
-
En als wij eerst met z integreren, wat is het domein van z?
-
De grenzen van z waren 0 en 2.
-
De grenzen van y waren 0 tot en met 4.
-
En de grenzen op x, zijn van 0 tot 3.
-
En hoe evalueren we dit?
-
Nou, wat is de primitieve--we
-
integreren eerst met betrekking tot z.
-
Dus wat is de primitieve van xyz met betrekking tot z?
-
Nou, dat gaan we nu zien.
-
Dit is een constante dus wordt het xyz kwadraat gedeeld door 2.
-
Klopt dat?
-
Ja, dat klopt.
-
En dan evalueren wij dat van 2 tot 0.
-
En dan krijg je--ik weet dat ik ruimte gebrek ga krijgen.
-
Dus je krijgt 2 kwadraat, dus 4,
-
gedeeld door 2, uitkomst is 2.
-
Dus het is 2xy minus 0.
-
Dus wanneer u alleen dit evalueert krijg je 2xy, en
-
nu heb je nog de andere twee integralen over.
-
Ik heb de andere twee integralen nog niet uitgeschreven.
-
Misschien doe ik dat nu.
-
Dus je hebt twee integralen over.
-
dy en dx.
-
En y gaat van 0 tot 4 en x gaat van 0 tot 3.
-
Ik heb zeker te weinig ruimte...
-
En nu nemen we hiervan de primitieve
-
met betrekking tot y.
-
Dus wat is de primitieve van dit met betrekking tot y?
-
Laat me wat uitwissen zodat het geen rommel wordt.
-
Ik kreeg de zeer goede suggestie om
-
naar beneden te scrollen, maar, helaas, heb ik dat
-
deze keer niet voldoende gedaan.
-
Volgens mij kan ik dit uitwissen.
-
Oeps, iets te veel.
-
Maar je weet wat ik heb gewist.
-
OK, dus laten we eens de primitieve
-
met betrekking tot y vinden.
-
Ik zal hier boven, waar ik ruimte heb, beginnen.
-
OK, dus de primitieve van 2xy met betrekking tot y is
-
y kwadraat gedeeld door 2, de 2's strepen we tegen elkaar weg.
-
Dus krijg je xy kwadraat.
-
En y gaat van 0 tot 4.
-
En dan hebben we nog steeds de buitenste integraal te doen.
-
x gaat van 0 tot 3 dx.
-
En wanneer y gelijk aan 4 is krijg je 16 x.
-
En dan wanneer y 0 is het hele ding is 0.
-
Dus hebt je 16x geïntegreerd van 0 tot 3 dx.
-
En dat is gelijk aan?
-
8x tot de macht 2.
-
En u het evalueren van 0 tot en met 3.
-
Wanneer het 3 is, 8 keer 9 is 72.
-
En 0 times 8 is 0.
-
Dus de massa van onze figuur--het volume dat we laatst al hadden berekend
-
was 24 vierkante meter.
-
Ik heb het gewist, maar dat is wat we in de laatste video
-
geleerd hebben.
-
Maar de massa is 72 kg.
-
En we hebben dat gevonden door de integratie van deze 3 variabele dichtheid
-
functie--deze functie van 3 variabelen.
-
Of in drie dimensies kunt u het bekijken als een
-
scalair veld.
-
Op elk punt, is er een waarde, maar niet
-
echt een richting.
-
En die waarde is een dichtheid.
-
Maar we hebben de scalair veld in dit volume geïntegreerd.
-
Dus dat is de nieuwe vaardigheid die we geleerd hebben met
-
de triple integraal.
-
In de volgende video zal ik laten zien hoe u meer
-
ingewikkelde triple integralen oplost.
-
Maar het echte probleem met triple integralen is-- en ik
-
denk dat je zult zien dat uw calculus leraar dit vaak zal doen
-
--wanneer je werkt met drievoudige integralen, tenzij u een
-
zeer gemakkelijk figuur als deze neemt, de evaluatie--als u
-
analytisch een drievoudige integraal wilt evalueren die
-
ingewikkeldere grenzen heeft, bijvoorbeeld een ingewikkeldere
-
dichtheidsfunctie.
-
De integraal wordt zeer snel grillig.
-
En het is vaak zeer moeilijk of zeer tijdrovend om
-
het analytisch te evalueren met behulp van alleen uw traditionele
-
calculus vaardigheden.
-
Daarom zie je dat op een heleboel calculus examens dat
-
je alleen het begin ervan hoeft te doen.
-
Zij nemen er je woord voor dat je het vaak genoeg hebt gedaan
-
dat je de primitieve kan nemen.
-
En soms, als ze je echt iets moeilijker willen geven
-
dan vragen ze je de volgorde te wisselen.
-
Weet je, dit is de integraal wanneer we oefenen
-
ten aanzien van z, dan y, dan x.
-
Als oefening kan je de integraal herschrijven
-
met veranderde volgorde.
-
De uitwerking zal worden gegeven in de volgende video.
-
Tot gauw.
