Integrais Triplas 2

Usando a integral tripla para encontrar a massa de um volume com densidade variável.

No último vídeo, tínhamos este retângulo e utilizamos integral tripla

para determinar seu volume

E agora você, provavelmente, está pensando: "bom, eu poderia ter usado geometria básica

para multiplicar a altura pela largura e pela

profundidade"

E é verdade, pois esta era uma função constante

E então, mesmo quando já avaliadas, uma vez integrada

em relação a z, nós acabamos com uma integral dupla, que

é exatamente o que você pode ter feito nos videos passados

quando nós aprendemos que o volume sob uma superfície.

Mas, então, nós acrescentamos uma torção no final do vídeo.

Nós dissemos, bem, você pode ter descoberto o volume dentro

do domínio do retangulo, eu acho, muito fácil

usando as coisas que você já sabia.

Mas e se nosso objetivo não for descobrir o volume?

Nosso objetivo era descobrir a massa deste volume, e ainda

mais, o material que nós estamos falando, o volume de-quer

O volume de gás ou o volume de algum sólido - que

sua densidade não é contante.

Então, agora a massa torna-se espécie de - Eu não sei -

interessante de calcular.

E assim, o que nós definimos, definimos uma função de densidade.

e o rô, esta letra que parece um "p" com uma curva em baixo--que

nos dá a densidade em qualquer ponto.

E no final do ultimo video nós dissemos,

bem, que o é massa?

Massa é só densidade vezes volume.

Você pode ver de outro jeito.

Densidade é a mesma coisa que massa dividido pelo volume.

Assim, a massa em torno de um ponto muito, muito pequena, e nós chamamos de

massa d, o diferencial da massa, vai igual a

densidade neste ponto, ou a densidade aproximada exatamente no

ponto, vezes o volume de diferenciais em torno desse ponto,

vezes o volume deste pequeno cubo.

E então, como nós dissemos no ultimo video, se você esta usando

coordenadas retangulares, este diferencial do volume pode somente

ser a distância de x vezes a distância de y vezes a distância de z

Assim, a densidade era a nossa função densidade é definida

para ser x, y e z, e nós queremos descobrir a

massa deste volume.

E vamos dizer que nossas coordenadas x, y e z - seus

valores estão em metros e vamos dizer que

densidade está em quilogramas por metro ao cubo.

Então nossa resposta vai ser em quilogramas, se fosse esse o caso.

E esses são o tipo das unidades tradicionais no Si.

Então, vamos descobrir a massa deste volume com densidade variável.

Então tudo o que fazemos é temos o mesmo integral aqui em cima.

Então, o diferencial de massa vai ser esse valor,

Então vamos escrever aqui em baixo.

Ele é o x-eu quero certificar-se de que eu não ficar sem espaço.

XYZ vezes - e eu estou indo para integrar com

respectivo dz primeiro.

Mas você realmente pode mudar a ordem.

Talvez nós faremos isso no próximo vídeo.

Vamos fazer dz em primeiro lugar, vamos fazer dy então, vamos fazer dx.

Mais uma vez, isso é apenas a massa em qualquer pequeno

diferencial de volume.

E se integrar com z primeiro dissemos z vai de onde?

Os limites em z foram 0 para 2.

Os limites y foram de 0 a 4.

E os limites em relação a x, x foi de 0 a 3.

E como podemos avaliar isso?

Bem, o que é a antiderivada-nós estamos

integração em relação a z primeiro.

Então, qual é a antiderivada de xyz em relação a z?

Bem, vamos ver.

Esta é apenas uma constante por isso vai ser xyz ao quadrado sobre 2.

Direito?

Sim, é isso mesmo.

E então vou avaliamos que de 2 a 0.

E para que você obtenha - eu sei que eu vou ficar sem espaço.

Então você irá obter 2 ao quadrado, que é 4,

dividido por 2, que é 2.

Por isso é 2xy menos 0.

Então quando você avaliar apenas este primeiro vamos começar 2xy, e

Agora você tem as outras duas integrais deixadas.

Então eu não escrever as outras duas integrais.

Talvez eu vou escrevê-lo.

Então, você é deixado com duas integrais.

Você é deixado com dy e dx.

E y vai de 0 a 4 e x vai de 0 a 3.

Eu definitivamente vou ficar sem espaço.

E agora você tomar a antiderivada do presente

em relação a y.

Então, qual é a antiderivada do presente em relação a y?

Deixe-me apagar algumas coisas apenas para que eu não fique muito bagunçado.

Foi-me dada a sugestão muito boa de torná-lo

rolar, mas, infelizmente, eu não fazê-lo rolar

suficiente neste momento.

Então eu posso apagar essas coisas, eu acho.

Opa, eu deletei alguns dos que.

Mas você sabe o que eu deletei.

OK, então vamos dar a antiderivada

em relação a y.

Eu vou começar isso aqui onde tenho espaço.

OK, então a antiderivada de 2xy com respeito a y é y

2 ao quadrado mais 2, anular.

Para que você obtenha xy quadrado.

E y vai de 0 a 4.

E depois ainda temos a integral exterior para fazer.

x vai de 0 a 3 dx.

E y é igual a 4 obtens 16x.

E, em seguida, quando y é 0 a coisa toda é 0.

Assim, você tem 16 x integrado de 0 3 dx.

E que é igual a que?

8x ao quadrado.

E você avaliá-lo de 0 a 3.

Quando é 3, 8 vezes 9 é 72.

E 8 vezes 0 é 0.

Assim a massa de nossa figura-volume descobrimos última

tempo foi de 24 metros em cubos.

Eu apaguei, mas se você assistiu o último vídeo

Isso é o que aprendemos.

Mas ele é massa é 72 kg.

E nós fizemos isso, integrando esta densidade variável 3

função--essa função de 3 variáveis.

Ou em três dimensões, você pode vê-lo como um

campo escalar, certo?

Em qualquer dado momento, há um valor, mas não

realmente uma direção.

E esse valor é uma densidade.

Mas estamos integrados o campo escalar neste volume.

Então esse é o tipo da nova habilidade que nós aprendemos com

a integral tripla.

E no próximo vídeo, mostrarei como configurar mais

complicadas integrais triplos.

Mas o real é a dificuldade com integrais triplos-- e eu

acho que você vai ver que o seu professor de cálculo fará frequentemente

isso - quando você está fazendo integrais triplas, a menos que você tenha um

figura muito fácil como este, a avaliação — se você realmente

queria avaliar analiticamente uma integral tripla que tem mais

limites de complicado ou mais complicadas, por exemplo,

uma função de densidade.

A integral fica muito peludo, muito rápido.

E muitas vezes é muito difícil ou muito demorado para

avaliá-lo analiticamente apenas usando seu tradicional

Competências de cálculo.

Assim você verá que em um monte de exames de cálculo quando eles começam a

fazendo a integral tripla, eles só querem você configurá-lo.

Eles levam sua palavra para ela que você já fez tantas integrais

até o momento que você poderia tomar a antiderivada.

E, às vezes, se eles realmente querem dar-lhe algo mais

difícil apenas dirão, bem, alternar a ordem.

Você sabe, esta é a integral, quando estamos lidando com

respeito ao z, y, em seguida x.

Nós queremos que você reescrever esta integral, quando

você alternar a ordem.

E o que faremos no próximo vídeo.

Te vejo depois.