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미분가능한 함수 x와 y는
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다음 방정식으로
연관되어 있습니다
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sin(x) + cos(y) = √(2)입니다
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sin(x) + cos(y) = √(2)입니다
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또한 t에 대한
x의 도함수는 5라고 합니다
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또한 t에 대한
x의 도함수는 5라고 합니다
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t에 대한 y의 도함수를
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y = 𝜋/4이고
0 < x < 𝜋/2일 때
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구하라고 합니다
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t에 대한 x의
도함수가 주어졌고
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t에 대한 y의
도함수를 찾아야 하므로
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t에 대한 y의
도함수를 찾아야 하므로
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x와 y 모두 t에 대한 함수라고
가정해도 좋습니다
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이 방정식을
다시 쓸 수도 있습니다
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이걸 다시 쓰면
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t의 함수인 x(t)의 sin과
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t의 함수인 y(t)의 cos이
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t의 함수인 y(t)의 cos이
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√(2)라고 할 수 있습니다
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헷갈릴 수도 있습니다
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x가 세 번째 변수에 대한
함수이거나
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y가 x가 아닌 것의 함수인게
익숙치 않을 수 있습니다
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y가 x가 아닌 것의 함수인게
익숙치 않을 수 있습니다
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하지만 x와 y는 단지 변수일 뿐입니다
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이건 f(t), 이건 g(t)일 수도 있습니다
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x(t)와 y(t) 대신에요
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그러면 더 자연스럽게
느껴질 수도 있습니다
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어찌 되었든 dy/dt를 찾으려면
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양변의 t에 대한
도함수를 구해야 합니다
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양변의 t에 대한
도함수를 구해야 합니다
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그럼 해보죠
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왼쪽 변을 해 봅시다
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이것의 t에 대한
도함수를 구하고
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이것의 t에 대한
도함수를 구하고
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이것의 t에 대한
도함수를 구합니다
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그리고 오른쪽에는
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이 상수의 t에 대한
도함수를 구합니다
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각각에 대해 생각해 봅시다
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이것은 무엇일까요?
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새로운 색으로 해보죠
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아쿠아 색으로 표시한 이것 말이죠
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이걸 어떻게 쓸 수 있을까요?
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t에 대한 도함수를 구하는 데
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어떤 것의 sin이고
어떤 것은 t의 함수입니다
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연쇄법칙을 적용하면 됩니다
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먼저 x에 대한
sin(x)의 도함수를 구합니다
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먼저 x에 대한
sin(x)의 도함수를 구합니다
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sin(x(t))라 할 수 있지만
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편의를 위해
sin(x)를 사용하겠습니다
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편의를 위해
sin(x)를 사용하겠습니다
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그리고 안에 있는 함수의 t에 대한
도함수를 곱해 줍니다
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그리고 안에 있는 함수의 t에 대한
도함수를 곱해 줍니다
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그리고 안에 있는 함수의 t에 대한
도함수를 곱해 줍니다
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x와 y만 다루었던
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이전의 연쇄법칙 예제를 보다 보면
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약간 직관적이지 않을 수 있지만
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어떤 것에 대해 바깥인
sin의 도함수를 구하고
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어떤 것에 대해 바깥인
sin의 도함수를 구하고
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이 경우엔 그것이 x이고
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이 경우엔 x인 어떤 것의
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t에 대한 도함수를 구하는 것입니다
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여기도 똑같이 할 수 있습니다
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여기도 똑같이 할 수 있습니다
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바깥 함수 cos(y)의
y에 대한 도함수를 구하고
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바깥 함수 cos(y)의
y에 대한 도함수를 구하고
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바깥 함수 cos(y)의
y에 대한 도함수를 구하고
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t에 대한
y의 도함수를 곱해 줍니다
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t에 대한
y의 도함수를 곱해 줍니다
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이 모든 것은 무엇과 같을까요?
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상수의 t에 대한 도함수는
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√(2)는 상수이죠
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t가 변함에 따라
변하지 않습니다
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따라서 변화율은 0입니다
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좋습니다
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이제 이 모두를
구하기만 하면 됩니다
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먼저 sin(x)의 x에 대한
도함수는 cos(x)입니다
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거기에 dx/dt를 곱해 줍니다
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거기에 dx/dt를 곱해 줍니다
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거기에 dx/dt를 곱해 줍니다
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여기를 더해 주고요
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dy/dt에
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dy/dt에
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이게 앞으로 오도록
단지 위치를 바꾼 것 뿐입니다
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이게 앞으로 오도록
단지 위치를 바꾼 것 뿐입니다
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y에 대한 cos(y)의
도함수는 무엇인가요?
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-sin(y)입니다
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-sin(y)입니다
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-sin(y)입니다
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이걸 지우고 음수 부호를 넣습니다
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이건 모두 0과 같습니다
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그럼 무엇을 찾을 수 있나요?
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t에 대한 x의 도함수는
5라고 했습니다
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여기서 말해주죠
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따라서 이건 5입니다
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t에 대한 y의 도함수를 찾아야 합니다
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y = 𝛑/4라고 했습니다
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이것은 𝛑/4입니다
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아직 두 개의
미지수가 남아 있습니다
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아직 두 개의
미지수가 남아 있습니다
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아직 x와 t에 대한
y의 도함수를 알지 못합니다
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아직 x와 t에 대한
y의 도함수를 알지 못합니다
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그걸 찾아야 합니다
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x는 무엇일까요?
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y가 𝜋/4일 때
x는 무엇일까요?
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그것을 구하려면
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맨 처음 방정식을
보아야 합니다
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y가 𝜋/4라면
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y가 𝜋/4라면
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sin(x) + cos(𝜋/4) = √(2)입니다
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sin(x) + cos(𝜋/4) = √(2)입니다
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sin(x) + cos(𝜋/4) = √(2)입니다
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cos(𝜋/4)는
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단위원을 떠올렸을 때
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제1사분면에 있습니다
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육십분법으로는 45°이고
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√(2)/2입니다
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양변에서 √(2)/2를 빼면
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sin(x)는
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√(2)에서 √(2)/2를 빼면
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√(2)에서 √(2)/2를 빼면
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반이 없어진 것이니
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반이 남습니다
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따라서 √(2)/2입니다
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어떤 x의 sin값이
이 값을 줄까요?
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기억하세요
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단위원의 제1사분면을 생각하면
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x는 이 각도입니다
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x는 이 각도입니다
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𝜋/4입니다
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y = 𝜋/4일 때
x도 𝜋/4입니다
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y = 𝜋/4일 때
x도 𝜋/4입니다
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이것도 𝜋/4임을 알 수 있습니다
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이걸 다시 써보겠습니다
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조금 지저분하네요
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5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다
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5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다
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5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다
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5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다
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5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다
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5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다
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5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다
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5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다
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5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다
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즣습니다
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이제 대수학만 남았습니다
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cos(𝜋/4)는
√(2)/2임을 이미 알고 있습니다
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cos(𝜋/4)는
√(2)/2임을 이미 알고 있습니다
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sin(𝜋/4)도
√(2)/2입니다
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그럼 양변을
√(2)/2로 나누면 어떻게 될까요?
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그럼 양변을
√(2)/2로 나누면 어떻게 될까요?
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무엇이 나올까요?
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√(2)/2를
√(2)/2로 나누면 1입니다
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√(2)/2를
√(2)/2로 나누면 1입니다
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√(2)/2를
√(2)/2로 나누면 1입니다
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√(2)/2를
√(2)/2로 나누면 1입니다
-
√(2)/2를
√(2)/2로 나누면 1입니다
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√(2)/2를
√(2)/2로 나누면 1입니다
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0을 √(2)/2로 나누면 0입니다
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0을 √(2)/2로 나누면 0입니다
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따라서 이 모든 것이
5 - dy/dx = 0이 됩니다
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따라서 이 모든 것이
5 - dy/dx = 0이 됩니다
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따라서 이 모든 것이
5 - dy/dx = 0이 됩니다
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따라서 이 모든 것이
5 - dy/dx = 0이 됩니다
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다 했습니다
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양변에 dy/dt를 더하면
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dy/dt = 5가 나옵니다
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이것들이 참일 때 말이죠
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dx/dt = 5이고
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y = 𝜋/4일 때 입니다
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y = 𝜋/4일 때 입니다
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