Důkaz: log a + log b = log ab

-

Ahoj.

Pojďme popracovat na vlastnostech logaritmů.

Povězme si rychle, co to vlastně logaritmus je.

Když napíšu povězme, log při základě x čísla a

se rovná, co já vím, n.

Co to znamená?

Znamená to, že x na n-tou se rovná a.

Myslím, že už to víme.

To jsme se naučili ve videu o logaritmech.

Je velmi důležité si uvědomit, že když vypočítáte výraz s logaritmem,

jako například logaritmus čísla a při základě x,

co dostanete je exponent.

Toto n je exponent.

Toto se rovná tomu.

Mohli jste to napsat takto,

protože toto n se rovná tomu, mohli jste

napsat x - bude to trochu nepřehledné -na logaritmus

při základě x čísla a, se rovná a.

Co jsem udělal je, že jsem vzal n a nahradil ho tímto výrazem.

A chtěl jsem to napsat tímto způsobem, protože jsem chtěl,

abyste intuitivně pochopili,

že logaritmus je po výpočtu

pouze exponent.

Teď budeme pracovat s touto myšlenkou

a z ní pochází

všechny vlastnosti logaritmů.

Pojďme teď... teď se snažím

přijít na vlastnosti logaritmů

hravým způsobem.

Brzy to zesumarizuji

a potom to všechno zpřehledním.

Ale chci ukázat, jak na to lidé možná

původně přišli.

Řekněme, že x

-- změním barvu, myslím, že to udělá věci zajímavějšími --

řekněme, že x na l-tou se rovná a.

Když napíšu ten stejný vztah jako logaritmus,

můžu napsat, že logaritmus při základu x čísla a

se rovná l, že?

Teď jsem jen přepsal, co jsem napsal nahoře.

-- Změním barvy ---

A kdybych řekl, že x na m-tou se rovnáb,

je to to stejné, jen jsem změnil písmena.

Ale to znamená, že logaritmus při základu x čísla b

se rovná m, že?

Udělal jsem to stejné co v tomto řádku,

jen jsem změnil písmena.

Tak pojďme dále a uvidíme, co se stane.

Řekněme - změním zase barvu -

-

Řekněme, že mám x na n-tou a vy říkáte:

"Sal, o co ti jde?"

Ale uvidíte.

Je to celkem šikovné. x na n-tou se rovná a krát b.

x na n-tou se rovná a krát b.

A to je to stejné, jako kdybychom řekli, že logaritmus při základě x

se rovná a krát b.

Takže co s tím?

Začněme s tímto tady.

x na n-tou se rovná a krát b.

Jak bychom to mohli přepsat?

A je toto.

A b je toto, že?

Tak to přepišme.

Víme, že x na n-tou se rovná a.

A je toto.

x na l-tou

x na l-tou

A co je b?

krát b

B je x na m-tou, že?

Teď nedělám žádné finty.

Ale co je (x na l-tou) krát (x na m-tou)?

Víme z exponentů, že když násobíme

se stejným základem a odlišnými exponenty,

pouze sčítáme exponenty.

Takže toto se rovná - vyberu si neutrální barvu - .

Nevím, jestli jsem to řekl správě,

ale chápete.

Když máte stejný základ a násobíte,

můžete pouze sčítat exponenty.

To se rovná x na -- chci stále měnit barvy, protože

si myslím, že je to tak lepší --

na (l+m)-tou.

-- Je trochu nepraktické stále měnit barvy, ale... --

Chápete, co říkám.

Takže x na n-tou se rovná x na (l+m)-tou.

x dám sem.

-- Och, chtěl jsem to mít zeleně- --

x na (l+n)-tou.

Takže co teď víme?

Víme, že x na n-tou se rovná x na (l+m)-tou.

Že?

Máme stejný základ mocniny,

tyto exponenty se musí rovnat.

Takže víme, že n se rovná l+m.

Co to pro nás znamená?

Teď jsem si trochu hrál s logaritmy.

Dostal jsem se někam?

Myslím, že vidíte, že ano.

Jak jinak se dá napsat n?

Řekli jsme, že x na n-tou se rovná a krát b

-- och, přeskočil jsem jeden krok --

TO znamená, že -- vrátím se zpět -- x na n-tou

se rovná a krát b.

To znamená, že logaritmus při základu x čísla (a krát b) se rovná n.

To jste věděli.

Já ne.

Doufám, že si uvědomujete, že se nevracím zpět ani nic takového.

Jen jsem to zapomněl napsat, když jsem to udělal poprvé.

No nic.

Takže co je n?

Jak jinak se dá napsat n?

Jiný způsob máme rovnou tady.

Logaritmus při základě x čísla (a krát b).

Teď víme, že když za to nahradíme n,

máme logaritmus při základu x čísla (a krát b).

A čemu se to rovná?

To se rovná l.

Jiný způsob, jak napsat l je tu.

Rovná se logaritmu při základu x čísla a.

A co je m?

m je tady.

Takže logaritmus při základu x čísla b.

A tady máme naši první vlastnost logaritmů.

Logaritmus při základu x čísla (a krát b) se rovná

logaritmu při základu x čísla a plus logaritmus při základu x čísla b.

A toto vám to doufám dokázalo.

A jestli chcete vědět, proč to tak funguje,

je to proto, že logaritmy jsou vlastně pouze exponenty.

S tímto vás opouštím

a v dalším videu vám dokážu další

vlastnost logaritmů.

Na shledanou.

-