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Hallo.
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Beschäftgigen wir uns mit ein paar Eigenschaften des Logarithmus.
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Erinnern wir uns also kurz, was ein Logarithmus eigentlich darstellt.
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Wenn ich also schreibe 'Logarithmus von a zur Basis x' ...
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... gleich, sagen wir 'N'.
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Was bedeutet das ?
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Nun, das bedeutet einfach, daß x hoch N gleich a.
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Ich denke mal, das wissen wir bereits.
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Wir haben das im Video über den Logarithmus gelernt.
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Es ist also ganz wichtig, sich klarzumachen, daß man ...
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... bei der Berechnung eines Logarithmusterms wie 'Logarithmus a zur Basis x' ...
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... als Ergebnis einen Exponenten erhält.
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Dieses 'N' ist tatsächlich nichts anderes als ein Exponent.
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Das ist genau das gleiche wie dieses Ding hier.
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Man hätte das auch genausogut so schreiben können.
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Man hätte das tun können, weil dieses 'N' gleich diesem ist, man hätte ...
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... einfach - das sieht jetzt etwas wild aus - schreiben können 'x hoch Logarithmus ...
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... A zur Basis x' gleich A.
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Ich habe nur dieses N durch diesen Term ersetzt.
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Und das habe ich so geschrieben, weil ich möchte, daß du ...
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... ein intuitives Verständnis dafür entwickelst,
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daß ein Logarithmus, wenn du ihn berechnest, ...
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... effektiv ein Exponent ist.
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Und dieses Wissen nutzen wir jetzt.
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Daher rühren letztlich alle ...
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... Eigenschaften des Logarithmus.
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Laß uns also - was ich eigentlich möchte,
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ich möchte über die Eigenschaften des Logarithmus stolpern
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indem ich ein bißchen herumspiele.
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Und später fassen wir alles zusammen
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und bringen Ordnung rein.
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Aber zunächst möchte ich zeigen, wie Leute urspünglich ...
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... auf diesen ganzen Kram gekommen sind.
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Sagen wir also, daß x - ich wechsle mal die Farben ...
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... so bleibt's interessant -,
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sagen wir also, x hoch l gleich A.
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Ok, wenn wir das als Logarithmus schreiben, also die ...
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... gleiche Beziehung als Logarithmus, dann könnten wir schreiben 'Logarithmus von A zur Basis x ...
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... gleich l', richtig ?
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Ich habe nur das umformuliert, was ich in schon der ersten Zeile geschrieben habe.
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Und weiter mit einer neuen Farbe
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Wenn ich jetzt sagen würde 'x hoch m gleich b', dann ist das ...
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... genau dasselbe, nur mit anderen Variablen.
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Das heißt aber auch, der Logarithmus von b zur Basis x ...
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... ist gleich m, richtig ?
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I hab genau das gleiche wie in dieser Zeile gemacht.
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Ich habe nur Bezeichner getauscht.
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Machen wir mal wieter und schauen wir, was passiert.
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Erstmal noch eine andere Farbe ... die gehen mir nicht aus ...
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... also, sagen wir ich habe x hoch N und du sagt, Sal, ...
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... worauf willst du hinaus ?
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Aber das siehst du gleich.
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Das ist ganz hübsch, x hoch n gleich A mal B
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x hoch n gleich A mal B.
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Und das ist nichts anderes, als zu sagen
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n [fehlt im Video, Anm. Übers.] gleich Logarithmus von A mal B zur Basis x .
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Was können wir mit all dem anfangen?
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Ok, beginnen wir mit dem hier.
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x hoch n gleich A mal B.
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Wie könnten wir das anders schreiben ?
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Nun ja, A ist das ...
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... und B das, richtig ?
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Formen wir das also um.
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Wir wissen, daß x hoch N gleich A.
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A ist das hier.
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x hoch l
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x hoch l
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Und was ist B ?
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mal B
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Naja, B gleich x hoch m, stimmt's?
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Das ist jetzt kein Hexenwerk.
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Was ist aber x hoch l mal x hoch m ?
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Naja, wir wissen etwas über Exponenten, wenn wir ...
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... zwei Terme miteinander multiplizieren, die die gleiche Basis und verschiedene ...
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... Exponenten haben, addieren wir die Exponenten einfach.
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Also ist das gleich - ich nehme mal eine neutrale Farbe
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Ich weiß nicht, ob ich das fehlerfrei ausgedrückt habe, aber ...
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... die Idee ist klar.
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Wenn du die gleiche Basis hast und du multiplizierst,
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dann addierst du einfach die Exponenten.
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Das ist dann gleich - ich mache das in unterschiedlichen Farben,
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denn ich glaube, das ist hilfreich - ...
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... l, l plus m.
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Dauernd die Farben zu wechseln ist ein bißchen umständlich, aber ...
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... du siehst, worauf ich hinauswill.
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Also, x hoch n gleich x hoch l plus m.
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Ich schreibe hier mal 'x'.
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Das sollte eigentlich grün werden.
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x hoch l + n
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Also, was wissen wir ?
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Wir wissen, daß x hoch n gleich x hoch l + m.
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Richtig ?
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Ok, wir haben die gleiche Basis
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Diese Exponenten müssen also gleich sein.
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Somit wissen wir also, n gleich l + m.
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Was hilft uns das ?
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Ich nab nur ein bißchen mit Logarithmen herumgespielt.
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Bringt mir das irgendetwas ?
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Ich denke mal, du erkennst gleich, daß dem so ist.
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Wie können wir n anders schreiben ?
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Wir sagten x hoch n gleich A mal B - oh, hier ...
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... hab ich eigentlich einen Schritt ausgelassen.
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Das bedeutet - hierher zurück, x hoch n ...
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... gleich A mal B.
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Also ist der Logarithmus von A mal B zur Basis x gleich n.
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Das wußtest du schon.
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Ich nicht.
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Ich hoffe du erkennst, daß ich hier keine Fehler korrigiere oder so was in der Art.
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Ich habe einfach nur vergessen, das vorhin hinzuschreiben.
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Egal,
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also was ist n ?
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Wier kann man n anders schreiben ?
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Naja, also EINE andere Art, n zu schreiben, steht hier.
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Logarithmus von A mal B zur Basis x.
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Also, jetzt wissen wir, daß wir einfach n dafür schreiben können, wir ...
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... erhalten Logarithmus von A mal B zur Basis x
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Und das ist gleich was ?
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Das ist eben gleich l.
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l kann man auch so schreiben wie hier oben.
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Das ist gleich Logarithmus von A zur Basis x plus m.
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Und was ist m ?
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m steht hier.
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Also Logarithmus von B zur Basis x.
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Und hier haben wir unsere erste Eigenschaft des Logarithmus:
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Logarithmus von A mal B zur Basis x - das ist gleich ...
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Logarithmus von A zur Basis x mal Logarithmus B zur Basis x.
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Und das hier überzeugt dich hoffentlich, daß es stimmt.
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Und die Intuition dahinter, warum das funktioniert, ...
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... liegt daran, daß Logarithmen nichts anderes sind als Exponenten.
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So, das war's für dieses Video.
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Und im nächsten Video zeige ich eine andere ...
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... Eigenschaft des Logarithmus
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Bis demnächst!
