Proof: log a + log b = log ab
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0:01 - 0:02你好
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0:02 - 0:05让我们一起做一下关于对数的练习
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0:05 - 0:08好，我们来快速回顾一下什么是对数
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0:08 - 0:19如果我写，以x为底的a对数是
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0:19 - 0:22等于，随便说吧，n
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0:22 - 0:24这是什么意思
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0:24 - 0:36这就是说x的n次方等于a
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0:36 - 0:38我想我们已经知道这点
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0:38 - 0:40我们已经在对数视频上知道这点
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0:40 - 0:43所以要意识到这在你计算的时候很重要
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0:43 - 0:49一个对数式，比方说以x为底的a的对数，它的答案是
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0:49 - 0:52当你计算时，你得到的是，一个幂
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0:52 - 0:54这个n真的就是个幂
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0:54 - 0:57这也等同于这个东西
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0:57 - 0:59你也可以写成这种形式
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0:59 - 1:02因为n等于这个东西，你可以
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1:02 - 1:10有点混乱，写成x的以x为底的a的对数次方
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1:10 - 1:14等于a
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1:14 - 1:17我所做的就是用这个等式代替n
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1:17 - 1:20我写成这种形式是因为我想你
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1:20 - 1:23真的明白这个写法
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1:23 - 1:24当你计算时，这个对数，它
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1:24 - 1:26就是一个指数
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1:26 - 1:27还有，我们将要把这个写法
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1:27 - 1:30这就是所有对数
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1:30 - 1:32性质的来历
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1:32 - 1:35我想要下一步做的是
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1:35 - 1:38我想在对数性质上
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1:38 - 1:39再玩味玩味
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1:39 - 1:40然后我就此总结，然后
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1:40 - 1:41擦干净
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1:41 - 1:45不过我想展示以下人们当初
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1:45 - 1:47怎样发现这个东西的
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1:47 - 1:53拿x当例子，让我换一种颜色
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1:53 - 1:56我认为这会有趣些
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1:56 - 2:05举例说，x的l次方等于a
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2:05 - 2:08如果我们写成对数的形式
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2:08 - 2:15我们可以写成
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2:15 - 2:19以x为底的a的对数等于l，对吧
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2:19 - 2:23我只是抄写一次上面的信息
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2:23 - 2:25现在，让我换一种颜色
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2:25 - 2:33如果我说x的m次方等于b
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2:33 - 2:35一样的道理，我只要改变字母
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2:35 - 2:42这就是说以x为底的b的对数是
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2:42 - 2:44等于m，对吧
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2:44 - 2:46我只是做跟这一行同样的事
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2:46 - 2:47我要换一种颜色
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2:47 - 2:50让我们继续，看有什么发生
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2:50 - 2:53让我换一种颜色
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2:56 - 3:03打个比方，x的n次方
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3:04 - 3:05但是你会看到
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3:05 - 3:12x的n次方等于a乘以b
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3:12 - 3:15x的n次方等于a乘以b
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3:15 - 3:23这就是说
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3:23 - 3:26以x为底的ab的对数
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3:26 - 3:28那我们可以怎样做呢？
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3:28 - 3:31我们从这里开始
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3:31 - 3:33x的n次方等于a乘以b
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3:33 - 3:36那我怎样改写呢？
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3:36 - 3:39a是这个
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3:39 - 3:42b是这个，对吧？
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3:42 - 3:43那我们改成这样子
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3:43 - 3:50我们已知x的n次方等于a
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3:50 - 3:51a是这个
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3:51 - 3:55x
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3:55 - 3:57x的l次方
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3:57 - 4:00x的l次方
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4:00 - 4:01乘以b
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4:01 - 4:05b是x的‘m次方，对吧？
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4:05 - 4:07现在不做任何花俏的事
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4:07 - 4:09x的l次方乘以x的m次方等于什么呢？
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4:09 - 4:14从指数运算，我们知道
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4:14 - 4:17当你的底数一样
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4:17 - 4:19指数不同时，你只要将指数相加
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4:19 - 4:23那就是等于，让我换一种中立的颜色
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4:23 - 4:25我不知道这样说是否正确
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4:25 - 4:25你会得到
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4:25 - 4:28当你有相同的底数，又在做乘法
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4:28 - 4:29你只要将指数相加
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4:29 - 4:32等于x的l+m次方
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4:32 - 4:34我想换一种颜色，因为这更好
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4:34 - 4:40l,l+m
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4:40 - 4:43经常换颜色有点烦
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4:43 - 4:44你知道我的意思的
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4:44 - 4:48所以，x的n次方等于x的l+m次方
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4:48 - 4:50让我把x写在这儿
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4:50 - 4:51oh，我想用绿色
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4:51 - 4:54x的l+n次方
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4:54 - 4:54那我们知道什么呢？
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4:54 - 4:59我们知道x的n次方等于x的l+m次方
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4:59 - 5:00对吧
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5:00 - 5:03我们有相同的底数
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5:03 - 5:06这些指数一定相同
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5:06 - 5:19所以我们得知n=l+m
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5:19 - 5:21这有什么用呢?
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5:21 - 5:24我只是围着指数玩玩
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5:24 - 5:26我有什么结论了么?
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5:26 - 5:28我想你就要看到了
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5:28 - 5:31那,n的另一种写法是什么呢?
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5:31 - 5:35我们说,x的n次方等于a乘以b
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5:35 - 5:37我事实上跳了一步
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5:37 - 5:40返回去,x的n次方
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5:40 - 5:41等于a乘以b
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5:41 - 5:45这意味着以x为底的a乘以b的对数是n
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5:45 - 5:45你知道的
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5:45 - 5:46我不知道
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5:46 - 5:48我希望你没意识到我不是在倒带
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5:48 - 5:52我只是一开始忘了将这个写下来
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5:52 - 5:53不过没关系
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5:53 - 5:54那,n等于什么
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5:54 - 5:56n的另一种写法是什么?
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5:56 - 5:58n的另一种写法是这样的
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5:58 - 6:02以x为底的a乘以b的对数
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6:02 - 6:05那我们现在知道如果我们用n代替这个
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6:05 - 6:12得到以x为底的a乘以b的对数
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6:12 - 6:13这个等于什么呢?
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6:13 - 6:14这等于l
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6:14 - 6:18l的另外一种表示方法如下
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6:18 - 6:26它等于以x为底a的对数,加上m
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6:26 - 6:28那什么是m呢
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6:28 - 6:31m在这儿
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6:31 - 6:36也就是以x为底,b的对数
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6:36 - 6:39这样我们就得到我么第一个对数的性质
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6:39 - 6:45以x为底的a乘以b的对数
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6:45 - 6:48就等于以x为底的a的对数乘以以x为底的b的对数
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6:48 - 6:51希望这证明给你看
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6:51 - 6:55还有,如果你想知道这为什么直觉上
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6:55 - 7:00会想到对数不过是指数
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7:00 - 7:02我会留下这个视频
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7:02 - 7:04在下一个视频,我会证明另一个
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7:04 - 7:06对数的性质
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7:06 - 7:08以后见
- Title:
- Proof: log a + log b = log ab
- Video Language:
- English
- Duration:
- 07:08
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