-
Eelmises videos näegime, et kui vektorväli saab olla
-
kirjutatud vektorvälja teekallakuna-- või teist moodi
-
saaksime me öelda: see oleks võrdne meie suure
-
osalise f'ga suhtes x'ga korda i plus meie suur osaline f, meie
-
skalaarväli suhtes y'ga korda j; ja ma lihtsalt kirjutan
-
selle mitut moodi, et sa mäletaksid, mis on teekallak
-
--aga me nägime, et kui meie vektorväli on
-
skalaarvälja teekallak, siis me kutsume seda konservatiivseks.
-
Seega, see ütleb meile, et f on konservatiivne vektorväli.
-
Ja see ütleb ka, et see oli suur äravõtt
-
eelmisest videost, joonintegraal kohal f kahe punkti vahel
-
--las ma joonistan kaks punkti siia; seega, las ma joonistan enda
-
koordinaadid, et me teaksime, et me asetseme xy-tasandil.
-
Mu teljed: x-telg, y-telg.
-
Ütleme, et mul on punkt, et mul on see punkt ja see punkt,
-
ja mul on kaks erinevat teed nende kahe punkti vahel.
-
Seega, mul on punkt 1, see läheb umbes nii,
-
seega ma nimetan selle c1'ks ja see läheb selles suunas.
-
Ja siis mul on, võib-olla kahes erinevas rohelise varjundis,
-
c2 läheb nii.
-
Nad mõlemad algavad siit ja lähevad sinna.
-
Me õppisime viimases videos, et joone integraal
-
on sõltumatu tee ükskõik, millise kahe punkti vahel.
-
Seega, praegusel juhul joone integraal mööda c1 kohal f punkt dr
-
on võrdne joone integraaliga c2, üle
-
tee c2, kohal f punkt dr. Joon, kui meil on potentsiaal
-
piirkonnas, ja me võime olla kus tahes, siis joone
-
integraal ükskõik, millise kahe punkti vahel, on sõltumatu teekonnast.
-
See on konservatiivse välja hea omadus.
-
Mis ma nüüd teha tahan selles videos on, et teha väike
-
üldistamine eelmise video äravõtust.
-
See on tegelikult päris tähtis üldistus; see võib
-
olla juba ilmne sulle.
-
Mul on see juba siia kirjutatud; ma võin natuke
-
ümberkorraldada seda võrdust.
-
Las ma teen seda.
-
Seega, las ma korraldan selle ümber.
-
Ma kirjutan selle lihtsalt oranžis uuesti.
-
Seega, joone integraal c1 teel punkt dr miinus-- ma lihtsalt lähen
-
lahutan selle mõlemalt poolt-- miinus joone integraal c2 kohal
-
f punkt dr hakkab võrduma 0'ga.
-
Kõik, mis ma tegin, oli et ma võtsin äravõtu eelmisest videost ja
-
lahutasin selle mõlemast poolest.
-
Me õppisime mitmed videod tagasi, et kui meil on tegemist
-
vektorvälja joone integraaliga-- mitte skalaarvälja
-
--koos vektori väljaga, tee suund
-
on oluline.
-
Me õppisime, et joone integraal üle, ütleme, c2 kohal f punkt
-
dr, on võrdne negatiivse miinus c2 joone integraaliga
-
kohal f punkt dr, kus me tähistasime, et miinus c2 on sama teekonnaga, nagu
-
c2, ainult et vastupidises suunas.
-
Seega, näiteks, miinus c2 kirjutaksin ma sellisena-- las ma
-
teen selle teise värviga --seega, ütleme, et see on miinus
-
c2, see oleks tee, nagu c2-- ma nimetan selle
-
minus c2'ks --aga selle asemel, et minna selles suunas, ma nüüd
-
lähen selles suunas.
-
Seega, ära tee välja vana c2 nooltest.
-
Nüüd me alustame sealt ja tuleme tagasi siia.
-
Seega, see on miinus c2.
-
Või me võiksime kirjutada, me võiksime panna, miinus teisel
-
pool ja me võiksime öelda, et negatiiv c2 joone
-
integraalist mööda c2 kohal f punkt dr teed on võrdne
-
joone integraaliga üle f punkt dr vastupidise suuna. Kõik, mis ma tegin,
-
oli et ma vahetasin negatiivse teisel poolel; korrutasin
-
mõlemad pooled negatiivse 1'ga.
-
Seega, asendame-- selles võrduses on meil miinus
-
c2 tee; meil on see siin, ja meil on see täpselt
-
siin --seega, me võiksime lihtsalt asendada selle
-
sellega siin.
-
Seega, las ma teen seda.
-
Ma kirjutan esimese osa kõigepealt.
-
Seega, integraal mööda c1 kohal f punkt dr kurvi,
-
miinus joone integraal mööda c2 asemel, ütleme pluss
-
integraal mööda miinus c2'te.
-
See-- las ma vahetan roheliseks --see kehtestus
-
on sama asi, mis see.
-
Selle kurvi negatiiv, või joone integraal mööda seda
-
teed on sama, mis joone integraal, positiivne
-
joone integraal mööda vastupidist suunda.
-
Seega, ütleme pluss c2 kohal f punkt dr joone integraal
-
on võrdne 0'ga.
-
Nüüd on asi huvitav.
-
Vaatame, mis on c1 ja miinus c2
-
teede kombinatsioon.
-
c1 algab siit.
-
Las ma võtan hea, elava värvi.
-
c1 algab siit selles punktis.
-
See liigub sellest punktist mööda seda c1 kurvi ja
-
lõppeb selles punktis.
-
Ja siis me teeme miinus c2'e.
-
Miinus c2 algab sellest punktist ja läheb ja tuleb tagasi
-
algsesse punkti; see viib lõpule tsükli.
-
Seega, see on suletud joone integraal.
-
Kui sa kombineerid selle, võime me selle ümber kirjutada.
-
Jäta meelde, see on lihtsalt tsükkel.
-
Tagurdades seda, selle asemel, et kaks venda siit alustaksid
-
ja siia läheksid, ma nüüd võin alustada siit, minna terve tee
-
sinna, ja siis tulla terve tee tagasi siia
-
tagurpidise c2 tee peale.
-
Seega, see on samaväärne suletud joone integraaliga.
-
See on sama asi, mis integraal mööda suletud teed.
-
Ma mõtlen, et me võiksime kutsuda suletud teed ehk c1 pluss
-
miinus c2'ks, kui me tahaksime olla üksikasjalik
-
suletud tee suhtes.
-
Aga see võiks olla, ma joonistasin c1 ja c2 või miinus c2 omavoliliselt;
-
see võib olla mistahes suletud tee, kus meie vektori väljal f on
-
potentsiaal, või kus see on skalaarse välja teekallak,
-
või kus see on konservatiiv.
-
Ja seda võib kirjutada c1 suletud teena, pluss
-
vastupidine c2 kohal f punkt dr. See on lihtsalt ümberkirjutus
-
sellest, ja see hakkab olema võrdne 0'ga.
-
Ja see on meie äravõtt selle video puhul.
-
See on, sa võid seda vaadata kaasnevana.
-
See on üsna allarippuv järeldus, mida sa saad teha
-
pärast seda järeldust.
-
Seega, nüüd me teame, et kui meil on vektori väli, mis on
-
skalaarvälja teekallak mingis piirkonnas, või ehk üle
-
terve xy-tasandi-- ja seda kutsutakse f'i potentsiaaliks;
-
see on potentsiaalne funktsioon.
-
Tihtilugu on see negatiivne sellest, aga negatiivsustega
-
on lihtne mässata --aga kui meil on vektorväli, mis on
-
skalaarvälja teekallak, me nimetame seda
-
vektorvälja konservatiiviks.
-
See ütleb meile, et mistahes punktis selles regioonis, kus see tõene on,
-
joone integraal ühest punktist teise on
-
sõltumatu teekonnast; seda õppisime me
-
eelmisest videost.
-
Ja sellepärast, suletud tsükkli joone integraal, või suletud
-
joone integraal, seega, kui me võtame mingi muu koha, kui me võtame
-
mistahes muu suletud joone integraali või me võtame vektorvälja
-
joone integraali mistahes suletud tsüklis, hakkab see olema 0, sest
-
see on sõltumatu teekonnast.
-
Seega, see on hea äravõtt siit, et kui sa tead, et
-
see on konservatiiv, kui sa kunagi näed midagi sellist:
-
kui sa näed seda f punkt dr ja keegi palub sul hinnata
-
seda teades, et f on konservatiiv, või teades, et f
-
on mõne teise funktsiooni teekallak, või teades, et f on
-
sõltumatu teekonnast, sa võid koheselt öelda, et see
-
hakkab olema võrdne 0'ga, mis lihtsustab matemaatikat päris palju.
