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No video anterior vimos que se
um campo vetorial pode ser
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escrito como o gradiente de
um campo escalar
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outra forma de dizermos isto seria:
igual à parcial do nosso f maiúsculo
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com relação a x vezes i mais
a parcial de f maiúsculo,
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nosso campo escalar com
relação a y vezes j;
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-- Estou escrevendo de diversas formas
para você lembrar o que é gradiente --
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Nós vimos que se o nosso
campo vetorial é o gradiente
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de um campo escalar, então
o chamamos de conservativo.
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Isso nos mostra que f é
um campo vetorial conservativo.
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Isso nos mostra também
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-- e esta é a principal
sacada do último vídeo --
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que a integral de linha
de f entre dois pontos
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-- deixe-me desenhar dois pontos aqui --
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-- vou desenhar as coordenadas para
mostrar que estamos no plano xy.
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Os eixos x e y.
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Digamos que temos esse ponto
aqui e esse outro ponto
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e que eu tenho dois caminhos
diferentes entre esses pontos.
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Tenho o caminho um, que
é mais ou menos assim,
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e vou chamar ele de c1,
indo nesta direção.
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E agora eu tenho, em um
outro tom de verde,
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c2, que tem essa direção.
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Ambos começam aqui,
e vão para lá.
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Nós aprendemos no último
vídeo que a integral de linha
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é independente do trajeto
entre dois pontos.
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Nesse caso, a integral de linha
ao longo de c1 de f ponto dr
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será igual à integral de linha ao
longo de c2, ao longo do trajeto c2
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de f ponto dr.
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Se tivermos um potencial na região, ou
em todos pontos, a integral de linha
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entre dois pontos é
independente do trajeto.
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Isso é o bacana do
campo conservativo.
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O que eu quero fazer
nesse video é uma
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extensão do resultado
do último vídeo.
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De fato, se trata de uma
extensão bem importante,
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talvez já seja óbvio
para você.
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Eu já escrevi isso aqui,
vou só reorganizar
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essa equação um pouco.
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Deixe-me organizar isto um pouco melhor.
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Vou reescrever
isso em laranja.
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Então a integral de linha do
trajeto c1 ponto dr menos
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-- e eu vou subtrair isso
de ambos os lados --
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menos a integral de linha c2 de
f ponto dr será igual a zero.
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Tudo o que fiz foi pegar o
o resultado do último video
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e subtrair isso de ambos os lados.
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Agora, como vimos em um
dos vídeos anteriores,
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se estivermos lidando com a integral
de linha em um campo vetorial
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-- não um campo escalar --
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em um campo vetorial, a direção
do trajeto é relevante.
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Nós aprendemos que a integral
de linha sobre c2 de f ponto dr
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é igual ao negativo da integral de linha
de menos c2 de f ponto dr,
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onde denotamos que menos c2
é o mesmo trajeto que c2,
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mas na direção oposta.
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Por exemplo, menos c2
eu escreveria assim:
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-- deixe eu usar uma cor diferente --
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Digamos que isto seja menos c2,
que seria um trajeto como c2
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-- vou chamá-lo de menos c2 --
mas no lugar de ir naquela direção,
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agora eu vou nessa direção.
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Ignore as antigas flechas.
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Agora começamos de lá
e voltamos até aqui.
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Então, esse aqui é menos c2.
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Ou ainda, podemos colocar
o menos no outro lado
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e poderíamos dizer que
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o negativo da linha integral c2, ao longo
do trajeto de c2 de f ponto dr
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é igual à
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integral de linha do trajeto
inverso de f ponto dr.
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Tudo o que eu fiz foi trocar o
negativo do outro lado,
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multiplicando ambos
os lados por menos um.
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Então vamos substituir -- nesta equação
nós temos o caminho negativo de c2;
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nós o temos bem aqui; e também
o temos bem aqui;
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então, nós poderíamos substituir
isto por isto aqui.
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Deixe-me fazer isto.
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Então escreverei esta
primeira parte aqui.
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A integral ao longo da curva
c1 de f ponto dr, em vez de
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menos a integral de linha ao
longo de c2, eu direi mais a
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integral ao longo de
c2 negativo.
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Isto -- deixe-me mudar para verde --
isto nós estabelecemos como
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a mesma coisa que isto.
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O negativo desta curva, ou
a integral de linha ao longo
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deste caminho, é a mesma coisa que a
integral de linha, o positivo
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da integral de linha ao longo
do caminho inverso.
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Então diremos: mais a integral de
linha de menos c2
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de f ponto dr é igual a zero.
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Aqui há algo interessante.
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Vamos ver qual a combinação
do caminho de
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c1 e menos c2 é.
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c1 começa bem aqui.
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Deixe-me selecionar uma
cor mais vibrante.
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c1 começa aqui
neste ponto.
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Ele se move deste ponto
ao longo desta curva c1 e
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termina neste ponto
bem aqui.
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E então fazemos
o menos c2.
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Menos c2 começa neste
ponto e vai e volta
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para o ponto inicial; ele
completa uma volta.
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Então esta é uma integral
de linha fechada.
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Se combinamos isto,
poderíamos reescrever isto.
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Lembre-se, isto é
apenas um loop.
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Ao reverter isto, em vez de termos
dois elementos começando aqui e
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indo para lá, eu posso
começar aqui, ir até
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lá, e então voltar todo o
caminho para este
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caminho inverso de c2.
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Então, isto é equivalente à
uma integral de linha fechada.
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Então, isto é o mesmo que uma integral
ao longo de um caminho fechado.
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Nós poderíamos chamar isto de
caminho fechado, talvez,
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c1 mais menos c2, se quiséssemos
nos referir particularmente
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a este caminho fechado.
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Mas isto poderia ser, eu desenhei c1
e c2 ou menos c2 arbitrariamente;
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Este poderia ser qualquer caminho fechado
onde nosso campo vetorial f tem
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um potencial, ou onde é o gradiente
de um campo escalar,
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ou onde é conservativo.
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E isto pode ser escrito como
um caminho fechado de c1 mais
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o caminho inverso de c2 de f ponto dr.
Isto é apenas reescrever
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o aquilo, e isto portanto
será igual a zero.
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Esta é nossa deixa
para este vídeo.
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Isto é, você pode ver isto
como um corolário.
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É um tipo de conclusão simples que você
pode fazer a partir desta conclusão.
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Agora nós sabes que se tivermos
um campo vetorial que
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é o gradiente de um campo escalar
em alguma região, ou talvez por todo
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o plano xy -- e isto é chamado de
potencial de f;
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esta é uma função potencial.
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Frequentemente será o negativo
disto, mas é mais fácil
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errar com negativos -- porém, se temos
um campo vetorial que
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é o gradiente de um campo
escalar, nós o chamamos de
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campo vetorial conservativo.
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Isto nos diz que para qualquer
ponto nesta região onde isto
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é válido, a integral de linha de um
ponto para outro é
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independente do caminho; isto é
o que nós obtemos
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do último vídeo.
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E por causa disto, uma integral de linha
circular fechada, ou uma
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integral de linha fechada, se tomarmos
algum outro lugar, se tomarmos
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qualquer outra integral de linha
ou tomamos a integral de linha do
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campo vetorial em qualquer
loop fechado, ele se tornará zero pois
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é independente do caminho.
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Este é nosso gancho importante aqui,
que se você sabe que
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ele é um campo conservativo, se você
vier a ver algo deste tipo:
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se você vir este f ponto dr e alguém
pedi-lo para avaliar
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isto, dado que f é conservativo, ou
dado que f
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é o gradiente de uma
outra função, ou dado que f é
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independente do caminho, você pode
imediatamente dizer que, isto será
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igual a zero, o que simplifica
um pouco a matemática.
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Legendado por: [José Irigon de Irigon]
Revisado por: [Bernardo Blasi Villari]
