Area between curves with multiple boundaries

Bu videoda yaşıl rənglə işarələdiyim

hissənin sahəsini tapmaq istəyirəm.

Bu, bir az çətin görünə bilər.

Aşağıda bir funksiyamız var.

Aşağı sərhəd y bərabərdir

x kvadratı böl 4 çıx 1-dir.

Ancaq başqa bir yuxarı sərhəddimiz də var.

Bunu həll etmək üçün

bu sahəni iki

hissəyə böləcəyik.
Sağ və

sol hissələrə böləcəyik.

Birinci hissə üçün-- bir az da

sarı ilə rəngləyim-- birinci hissə üçün

x-dəki interval

0 və1 arasındadır.

y bərabərdir-- x 1-ə bərabər olduqda

funksiya da 1-ə bərabər olur.

Bu, (1, 1) nöqtəsidir.

Onlar kəsişirlər.

Bu hissə üçün

y bərabərdir kökaltında x
yuxarı sərhəddə aiddir.

Bu hissənin

sahəsini ayrılıqda

tapa bilərik.

x bərabərdir 1-dən
x bərabərdir 2-yə.

y bərabərdir 2 çıx x, üstdəki funksiyadır.

Baxaq.

Əvvəlcə, bu hissəyə baxaq.

Müəyyən inteqralda x bərabərdir

0-dan x bərabərdir 1-ə.

Üstdəki funksiya kökaltında x-dir.

Bundan altdakı funksiyanı çıxacağıq--

kökaltında x çıx x kvadratı böl 4 çıx 1.

Vur dx.

Bu, sarı hissənin sahəsidir.

Bu hissə burada

iki funksiya arasındakı fərqi,

mahiyyətcə, hündürlüyü bildirir.

Gəlin başqa rəngdən istifadə edək.

Vur dx.

Eni dx olan balaca bir düzbucaqlı aldıq.

Bunu hər bir x üçün edirik.

Hər bir x üçün fərqli
düzbucaqlı əldə edirik.

Daha sonra onların hamısını toplayırıq.

Limit x yaxınlaşır 0-a.

Sonsuz sayda

nazik düzbucaqlılar əldə edirik.

Riman tərifinə görə

müəyyən inteqral nədir?

Bu, sol hissənin sahəsidir.

Eyni qayda ilə

sağ hissənin də sahəsini tapaq.

Bu hissə-- bu ikisini

toplayacağıq.

Sağ hissə, x bərabərdir

0-dan-- üzr istəyirəm, x bərabərdir
1-dən x bərabərdir 2-yə.

Üstdəki funksiya 2 çıx x-dir.

Altdakı funksiyanı,

yəni x kvadratı böl 4 çıx 1-i çıxacağıq.

İndi isə inteqralı hesablamalıyıq.

Əvvəlcə, bunu sadələşdirək.

Bu, müəyyən inteqral

0-dan 1-ə kökaltında x çıx
x kvadratı böl 4 üstəgəl 1

vur dx-- bunların hamısını eyni
rənglə yazacağam-- üstəgəl

müəyyən inteqral 1-dən 2-yə 2 çıx x

çıx x kvadratı böl 4.

Mənfini çıxsaq, üstəgəl 3 olacaq,-- yaxud
müsbət 1.

Sadəcə 2-ni əlavə etdik.

2 çıx mənfi 1

3-ə bərabərdir, dx.

İndi ibtidai funksiyanı tapıb

1 və 0-da hesablayacağıq.

Bunun ibtidai funksiyası-- bu,

x üstü 1/2-dir.

Qüvvəti 1 vahid

artırsaq, x üstü 3/2 alınacaq və

qüvvətin tərsinə

vuraq-- 2/3 x üstü 3/2.

Çıx-- x kvadratı böl 4-ün
ibtidai funksiyası

x üstü 3 böl 3, böl 4-dür.
x üstü 3 böl 12.

Üstəgəl x.

1-in ibtidai funksiyası budur.

1 və 0-da hesablayaq.

Burada ibtidai funksiya

3x çıx x kvadratı böl 2 çıx

üstü 3 böl 12 olacaq.

1-dən 2-yə

hesablayacağıq.

İfadəni 1 qiymətində hesablayaq.

2/3 çıx 1/12 üstəgəl 1 alırıq.

İndi isə bundan bunun
0-dakı qiymətini çıxaq.

Bunun hamısı 0-dır ona
görə də heçnə qalmır.

Bu, sadələşdirdiyimiz sarı hissəyə aiddir.

Bu bənövşəyi hissə, yaxud tünd

qırmızı hissəni isə, əvvəlcə,
2 qiymətində hesablayaq.

6 çıx-- 2-nin kvadratı böl
2 bərabərdir 2, çıx 8

böl 12.

Bundan bunun 1-dəki

qiymətini çıxaq.

3 vur 1-- bu, 3-dür-- çıx 1/2 çıx 1

böl 12.

Bir neçə kəsr

əldə etdik.

Davam edək.

Məlumdur ki, burada ortaq məxrəc

12-dir.

8/12 çıx 1/12 üstəgəl 12/12.

Sadələşdirsək, nə alırıq?

Sarı ilə rənglədiyimiz hissə
19/12-dur.

Bu ifadə, bu rənglə yazaq.

6 çıx 2 bərabərdir 4.

Bunu 48/12 kimi yaza
bilərik-- bu, 4-dür-- çıx 8/12.

3-ü çıxsaq, 36/12 alınır.

1/2-i əlavə etsək, bu da
6/12-ya bərabərdir.

1/12-i əlavə edirik.

Sadələşirsək,-- 48 çıx 8, 40

çıx 36, 4
üstəgəl 6, 10 üstəgəl 1, 11.

11/12 alınacaq.

Baxaq görək düzmü yazdıq.

48 çıx 8, 40 çıx 36, 4.
10, 11.

Məncə, düzdür.

İndi bu ikisini toplaya bilərik.

19 üstəgəl 11 bərabərdir 30/12.

Bir az da sadələşdirmək istəsək,

surət və məxrəci 6-ya
ixtisar apara bilərik.

Bu, 5/2, yaxud 2 tam 1/2-ə bərabərdir.

Bitirdik.

Bu hissənin sahəsini tapdıq.

2 tam 1/2.