-
V tomto videu chci zjistit plochu
této oblasti, kterou stínuji žlutě.
-
Výzva je v tom, že oblast je
ohraničena funkcí pod osou x.
-
Funkce níže je y se rovná
(x na druhou lomeno 4) minus 1.
-
Ale mám jinou horní hranici.
-
Způsob, jak se s tím vypořádáme, je,
že tuto plochu rozdělíme na dvě sekce
-
neboli rozdělíme tuto
oblast na dvě oblasti,
-
čili na oblast vlevo a oblast vpravo,
-
kde pro první oblast, kterou...
-
...vybarvím ji žlutě...
první oblast celého intervalu x.
-
A vypadá to, že ‚x‛ je mezi 0 a 1.
-
y se rovná… Když je x rovno 1,
tak je tahle funkce rovna 1,
-
a když je x rovno 1, tak
je i tahle funkce rovna 1.
-
Toto je bod [1; 1].
Tady se protínají.
-
V této sekci, v této podoblasti,
-
je ,y rovno odmocnina z x'
celou dobu horní funkcí.
-
A pak můžeme...můžeme
nastavit různé...
-
můžeme odděleně vyřešit
plochu této oblasti.
-
Od ‚x‛ je rovno 1 do ‚x‛ je rovno 2,
-
kde y rovno (2 minus x) je horní funkcí.
-
Udělejme to.
-
Nejprve se zamysleme nad touto oblastí.
-
Bude to určitý integrál
od ‚x‛ rovno 0 do ‚x‛ rovno 1.
-
A naše horní funkce je odmocnina z x.
-
A od tohoto chceme
odečíst naši spodní funkci...
-
...(odmocnina z x) minus
((x na druhou lomeno 4) minus 1).
-
A samozřejmě máme naše ‚dx‛.
-
Toto zde popisuje
tu žlutě vybarvenou plochu.
-
A můžete si představit, že tato část zde,
čili rozdíl obou funkcí, je výška.
-
Vybarvím to jinou barvou.
-
A pak to vynásobte krát ‚dx‛.
-
Dostanete malý obdélník široký ‚dx‛.
A uděláte to pro každé ‚x‛.
-
Pro každé ‚x‛ dostanete jiný obdélník.
A pak je všechny sečtete.
-
A hledáme limitu,
kdy se ‚změna x‛ bude blížit 0.
-
Když dostanete ultra tenké obdélníky,
budete jich mít nekonečně mnoho.
-
A to je naše, respektive Riemannova,
definice toho, co je určitý integrál.
-
A toto je plocha levé oblasti.
-
Stejnou logikou můžeme
najít plochu oblasti vpravo.
-
Oblast vpravo...
...a pak můžeme obě oblasti sečíst.
-
Oblast vpravo od ‚x‛ je rovno 0 do ‚x‛...
-
...promiňte, od ‚x‛ rovno 1
do ‚x‛ rovno 2. Čili od 1 do 2.
-
Vrchní funkce je 2 minus x.
-
A od tohoto odečteme dolní funkci,
což je (x na druhou lomeno 4) minus 1.
-
A nyní to vypočítáme.
-
Nejprve zjednodušíme tohle vpravo.
-
Je to rovno určitému
integrálu od 0 do 1 funkce
-
(odmocnina z x) minus
((x na druhou lomeno 4) plus 1) dx...
-
...nyní to napíši jednou barvou...
-
...plus určitý integrál od 1 do 2 funkce
2 minus x minus (x na druhou lomeno 4).
-
Pak odečteme...minus -1
je kladná 3...teda 1.
-
Můžeme to přičíst k této 2.
A z této 2 se stane 3.
-
Řekl jsem, že 2 minus -1 je 3…dx.
-
A nyní musíme vzít primitivní funkci
a vyhodnotit ji pro 1 a 0.
-
Primitivní funkce tohoto je...
...Tohle je x na 1/2.
-
Přírůstek o 1.
-
Mocnina se zvýší o 1,
takže dostanete x na 3/2
-
a vynásobíte to obrácenou hodnotou nového
exponentu...tudíž je to 2/3 x na 3/2.
-
Minus...primitivní funkce
x na druhou lomeno 4
-
je x na třetí děleno 3, to celé děleno 4,
takže děleno 12…plus x.
-
To je primitivní funkce 1.
-
Vyhodnotíme to v 1 a 0.
-
A zde bude primitivní funkce
-
3x minus (x na druhou lomeno 2)
minus (x na třetí lomeno 12).
-
Znovu to vyhodnotíme...vlastně ne.
-
Nyní to vyhodnotíme v 2 a 1.
-
Zde to všechno vyhodnotíme pro 1.
Dostanete 2/3 minus 1/12 plus 1.
-
A od tohoto odečtete tuto hodnotu v 0.
-
Ale je to jen 0, takže nedostanete nic.
-
Takže to zjednoduší žlutou plochu.
-
A tato fialová nebo purpurová nebo lila
nebo co to je za barvu...
-
...nejprve ji vyhodnotíme v 2.
-
Dostanete 6 minus...podívejte, 2 na druhou
lomeno 2 je 2...minus 8 lomeno 12.
-
A od tohoto odečtete hodnotu v 1.
-
Takže to bude 3 krát 1...to je 3...
...minus 1/2 minus (1 lomeno 12).
-
A nyní nám zůstalo několik zlomků.
-
Podívejme se, jak to zvládneme.
-
Vypadá to, že 12 by mohl být
společný jmenovatel.
-
Zde máte 8/12 minus 1/12 plus 12/12.
-
Takže se to zjednodušilo...na co?
-
Tato žlutá část je 19/12.
-
A pak toto...udělám to jinou barvou.
-
6 minus 2, to bude 4.
-
Můžeme to napsat jako 48/12...
...čili 4...minus 8/12.
-
A pak odečteme 3, což je 36/12.
-
A pak přičteme 1/2, což je
plus 6/12, a pak přidáme 1/12.
-
Toto vše se zjednoduší...
...podívejte...48 minus 8 je 40...
-
minus 36 je 4...
...plus 6 je 10...plus 1 je 11.
-
Takže dostaneme 11/12.
-
Zkontroluji to.
-
48 minus 8 je 40, minus 36 je 4...10...11.
-
Vypadá to správně.
-
A jsme připravení tyto dva sečíst.
-
19 plus 11 je rovno 30/12.
-
Pokud to chceme trochu zjednodušit,
můžeme vydělit čitatele a jmenovatele 6.
-
Toto je rovno 5/2 nebo 2 a 1/2.
-
Jsme hotovi.
-
Zjistili jsme, že plocha celé oblasti
je 2 a 1/2.
Khan Academy
