Area between curves with multiple boundaries

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O que quero fazer neste vídeo
é achar a área desta região

que estou sombreando em amarelo.

E o que pode parecer difícil é
que através desta região,

eu tenho a mesma função inferior.

Ou eu suponho que
o limite inferior é y

é igual a x ao quadrado
sobre 4 menos 1.

Mas eu tenho um limite superior diferente.

E a forma como
podemos resolver isso

é dividindo essa área em duas secções,

ou dividindo esta região em duas
regiões, a região da esquerda

e a região da direita, onde

para a primeira região, eu vou fazer --

eu vou colorir ainda mais com
amarelo -- para esta região

sobre todo o intervalo de x.

E parece que x se estende entre 0 e 1.

y é igual -- quando x é igual
a 1, esta função é igual a 1.

Quando x é igual a 1, esta
função também é igual a 1.

Então este é o ponto 1 virgula 1.

É onde elas se intersectam.

Então para esta secção,
esta sub região bem aqui,

y é igual à raiz quadrada de x,
é a função superior o tempo todo.

E então quando temos
um -- podemos definir

diferentes -- podemos resolver
calculando separadamente

a área desta região,

De x é igual a 1 para x é igual a 2,

onde y é igual a 2 menos x
é a função superior.

Então vamos fazê-lo.

Vamos primeiro considerar
esta primeira região.

Bem, esta vai ser a integral definida de x

é igual a 0 a x é igual a 1.

E a nossa função superior é raiz
quadrada de x, raiz quadrada de x.

E daí podemos subtrair
nossa função inferior --

raiz quadrada de x menos
x ao quadrado sobre 4 menos 1.

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E é claro que temos o nosso dx.

Então isso bem aqui, isso está
descrevendo a área em amarelo.

E você pode imaginar
que esta parte bem aqui,

a diferença entre estas duas funções

é essencialmente esta altura.

Deixe-me usar um cor diferente.

--

E quando você multiplica por dx

você obtém um pequeno
retângulo de largura dx.

E quando você faz isso para cada x,

para cada x você obtém
um retângulo diferente.

E então você soma todos eles.

E você toma o limite quando sua
mudança em x se aproxima de 0.

E você obtém retângulos
ultra, ultra estreitos,

e você tem um número infinito deles.

Esta é a definição da integral de Riemann

ou do que é uma integral definida.

Estão esta é a área da região esquerda.

E usando a mesma lógica, podemos calcular

a área da região direita.

A região direita -- e então podemos

somar os dois resultados.

Na região direita, vamos de x é igual a 0

para -- perdão, x é igual a 1
para x é igual a 2, 1 a 2.

A função superior é 2 menos x.

E daí vamos subtrair a função inferior,

que é x ao quadrado sobre 4 menos 1.

--

E agora temos apenas que calcular.

Vamos primeiro simplificar isso aqui.

Isso é igual a integral definida

de 0 a 1 da raiz quadrada de x, menos x
ao quadrado sobre 4, mais 1,

dx -- vou escrever em uma só cor agora --

mais a integral definida de
1 a 2 de 2 menos 2,

menos x ao quadrado sobre 4.

Então subtraindo um 1 negativo resulta
em um 3 positivo -- ou seja, um 1 positico

que podemos somar a este 2.

E isto resulta em um 3.

Eu disse que 2 menos menos 1 é 3, dx.

E agora temos apenas que
tomar a antiderivada

e calculá-la em 1 e 0.

E a antiderivada disso é -- bem,

isso é x elevado a 1/2

Somado com 1.

Somando a potência de 1
temos x elevado a 3/2,

e então multiplicando
pelo inverso do

do novo expoente -- que é
2/3 vezes x elevado a 3/2,

menos -- a antiderivada de
x ao quadrado sobre 4

é x à terceira, dividido por 3,
dividido por 4, ou dividido por 12,

mais x,

a antideriva da de 1.

Vamos calcular isso em 1 e 0.

E assim a antiderivada aqui vai ser

3x menos x ao quadrado sobre 2 menos

x à terceira sobre 12.

Mais uma vez, calcule isso em --
ou melhor,

agora vamos calcular em 2 e 1.

A qui você calcula tudo isso em 1.

Você obtém 2/3 menos 1/12 mais 1.

A daí você subtrai isso calculado em 0.

Mas tudo isso é apenas 0,
então você não tem nada.

Então isso é o que a
parte amarela resultou.

E então essa parte púrpura, ou magenta,

ou roxa, o que quer que seja essa cor,
primeiro você calcula ela em 2.

Você obtém 6 menos -- vamos ver,
2 ao quadrado sobre 2 é 2, menos 8

sobre 12.

--

E daí você vai subtrair

isso calculado em 1.

Então vai ser 3 vezes 1 -- que é 3 --
menos 1/2 menos 1

sobre 12.

E agora ficamos essencialmente com

a soma de uma porção de frações.

Vejamos se podemos
fazer isso.

Parece que 12 deve ser o

denominador comum
mais evidente.

Então aqui você tem 8/12
menos 1/12 mais 12/12.

E isso resulta em -- que é isso?

Isso é 19/12, a parte
que temos em amarelo.

E então essa coisa, deixe
eu fazer isso nessa cor.

Então 6 menos 2, isso vai ser 4.

Podemos escrever isso como
48/12 -- isso é 4 -- menos 8/12.

E aí você vai ter que subtrair
um 3, que é 36/12.

--

Então você vai somar 1/2, que é mais 6/12,

e então você vai somar um 1/12.

Tudo isso vai se simplificar para --
vamos ver, 48 menos 8

é 40, menos 36 é 4, mais 6 é 10,
mais 1 é 11.

E isso se torna mais 11/12.

Deixe eu me assegurar
que fiz tudo certo.

48 menos 8 é 40, menos 36 é 4, 10, 11.

Parece estar certo.

E estamos prontos para somar esses dois.

19 mais 11 é igual a 30/12.

Ou se quisermos simplificar um pouco,

podemos dividir o numerador
e o denominador por 6.

Isso é igual a 5/2, ou 2 e 1/2

E terminamos.

Calculamos a área de toda esta região.

Ela é 2 e 1/2.
(Legendado por Luiz Fontenelle)