定积分：反用幂法则 | 大学先修微积分AB | 可汗学院
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0:00 - 0:02让我们来计算定积分
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0:02 - 0:05从 -3 到 5
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0:05 - 0:084 dx
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0:08 - 0:10这会等于什么呢？
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0:10 - 0:12我建议你暂停视频
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0:12 - 0:14尝试自己解答一下
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0:14 - 0:17好的，为了计算这个
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0:17 - 0:21我们需要记住微积分基本定理
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0:21 - 0:26它表明了定积分和原函数之间的关系
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0:26 - 0:28微积分基本定理告诉我们
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0:28 - 0:34从 a 到 b 的 f(x) dx 的定积分
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0:34 - 0:38将等于我们的函数 f 的原函数
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0:38 - 0:41我们用大写的 F 表示
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0:41 - 0:43在上限处取值
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0:43 - 0:45减去
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0:45 - 0:49原函数在下限处取值
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0:49 - 0:52所以我们这里也这么做
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0:52 - 0:54所以这将等于
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0:54 - 0:58那么，4 的原函数是什么呢？
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0:58 - 1:00你可能立刻就会说
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1:00 - 1:01那就是 4x
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1:01 - 1:04可以通过反用幂法则来得到
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1:04 - 1:074 就是 4x 的 0 次方
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1:07 - 1:09所以你把 0 加 1
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1:09 - 1:11所以它会是 4x 的 1 次方
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1:11 - 1:13然后除以新的指数
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1:13 - 1:154x 的 1 次方除以 1
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1:15 - 1:17那就是 4x
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1:17 - 1:20所以原函数是 4x
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1:20 - 1:22这就是我们的 F(x)
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1:22 - 1:26我们要在 5 和 -3 处求值
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1:26 - 1:28我们算出这两者的差
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1:28 - 1:31所以我们在这里
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1:31 - 1:34在上界处求原函数的值
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1:34 - 1:38那就是 4 乘以 5
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1:38 - 1:41然后我们要减去
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1:41 - 1:45在下界处求原函数的值
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1:45 - 1:47那就是 4 乘以 -3
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1:47 - 1:504 乘以 -3
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1:50 - 1:52那么这会等于多少呢？
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1:52 - 1:54这是
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1:54 - 1:5820 减去 -12
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1:58 - 2:00所以这将是加 12
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2:00 - 2:04那么就会等于 32
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2:04 - 2:06我们再做一道例题
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2:06 - 2:09还是反用幂法则
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2:09 - 2:10那么假设
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2:10 - 2:12我们要计算
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2:12 - 2:16不定积分，或者我们要计算定积分
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2:16 - 2:19从 -1
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2:19 - 2:21到 3
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2:21 - 2:257x 的平方
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2:25 - 2:27dx
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2:27 - 2:29这将等于多少呢？
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2:29 - 2:30好的，我们想做的是
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2:30 - 2:33求出它的原函数
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2:33 - 2:36或者说这是小写的 f(x)
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2:36 - 2:37那么大写的 F(x) 是什么？
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2:37 - 2:39反用幂法则
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2:39 - 2:41我们把这个指数加 1
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2:41 - 2:46所以我们会有 7 乘以 x 的 3 次方
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2:46 - 2:49然后除以增加后的指数
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2:49 - 2:51所以 7x 的 3 次方除以 3
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2:51 - 2:54我们要在上界处求值
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2:54 - 2:55然后从中减去
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2:55 - 2:58在下界处的求值
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2:58 - 3:00所以这将等于
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3:00 - 3:03在上界处求值
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3:03 - 3:07将是 7 乘以 3 的 3 次方
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3:07 - 3:11我就写成 3 的 3 次方除以 3
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3:11 - 3:14然后我们再减去
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3:14 - 3:16大写 F(x)
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3:16 - 3:19原函数在下界处求值
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3:19 - 3:21那么将会是
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3:21 - 3:257 乘以 -1 的 3 次方
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3:25 - 3:27所有的都除以 3
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3:27 - 3:29第一个式子，我们看
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3:29 - 3:30这等于 7
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3:30 - 3:32乘以 3 的 3 次方除以 3
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3:32 - 3:34这是 27
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3:34 - 3:35除以 3
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3:35 - 3:37也就是 7 乘以 9
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3:37 - 3:40所以这等于 63
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3:40 - 3:41然后这边
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3:41 - 3:44-1 的 3 次方是 -1
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3:44 - 3:47但减去一个负的
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3:47 - 3:49这就是加
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3:49 - 3:53所以这等于加上 7 除以 3
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3:53 - 3:56加上 7
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3:56 - 3:56除以 3
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3:56 - 3:59如果我们想把这个表示为带分数
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3:59 - 4:037 除以 3 等于 2 又 1/3
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4:03 - 4:05所以把所有都加起来
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4:05 - 4:11我们将得到 65 又 1/3
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4:11 - 4:12我们完成
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- 定积分：反用幂法则 | 大学先修微积分AB | 可汗学院
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使用微积分基本定理和幂法则，计算多项式的定积分例题
马上在 KhanAcademy.org 网站上练习本课内容： https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-antiderivatives-ftc/ab-find-definite-int/e/evaluating-definite-integrals?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB
在这里观看下一课：https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-antiderivatives-ftc/ab-find-definite-int/v/evaluating-definite-integral-with-power-rule?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB
错过了上一课吗？
https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-antiderivatives-ftc/ab-common-indefinite-int/e/indefinite-integrals-of-e-x-1-x?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB可汗学院大学先修课程微积分 AB：在马萨诸塞州安多佛市的 Phillips 学院，Bill Scott 使用可汗学院来教授大学先修课程微积分，他的教学团队和教学内容也完善了可汗学院的大学先修课程体系。Phillips 学院是 60 年前首批开设大学先修课程的教学机构。
关于可汗学院：可汗学院提供练习习题, 教学视频和个性化的学习界面, 让学习者能够在课堂内外按照自己的进度学习. 内容涉及数学, 科学, 计算机编程, 历史, 艺术史, 经济学等. 其中数学方面的内容涵盖了从幼儿园的基础知识到大学的微积分, 并采用了最先进的可识别学习强度和学习障碍的自适应技术. 可汗学院还与NASA, The Museum of Modern Art, The California Academy of Sciences和MIT等机构合作, 提供特定的专业内容.
我们的使命是为世界各地的所有人提供免费的一流教育资源. #YouCanLearnAnything
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