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Hier sind einige Beispiele für das Finden
von Gleichungen in Form der Funtionsgleichung.
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Hier einige Beispiele für das Finden
von Gleichungen in Form der Funktionsgleichung.
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Das heißt, Gleichungen von Geraden der Form:
y = mx + b. Hier ist m die Steigung, b der y-Achsenabschnitt.
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Das heißt, Gleichungen von Geraden der Form:
y = mx + b. Hier ist m die Steigung, b der y-Achsenabschnitt.
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und b der y-Achsenabschnitt.
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Lösen wir einige Aufgaben.
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Eine Gerade hat die Steigung -5, also m = -5.
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Eine Gerade hat die Steigung -5, also m = -5
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und der y-Achsenabschnitt ist 6.
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also b = 6.
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Das ist ziemlich eindeutig.
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Die Gleichung dieser Geraden ist:
y = -5x + 6.
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Die Gleichung dieser Geraden ist:
y = -5x + 6.
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Das war recht einfach.
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Lösen wir diese Aufgabe.
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Die Gerade hat eine Steigung von -1
und enthält den Punkt (4/5 | 0).
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Die Gerade hat eine Steigung von -1
und enthält den Punkt (4/5 | 0).
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Die Steigung ist -1.
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Also ist m = -1, aber wir wissen nicht zu 100 %,
wo der y-Achsenabschnitt ist.
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Also ist m = -1, aber wir wissen nicht zu 100 %,
wo der y-Achsenabschnitt ist.
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In der Gleichung wird y gleich der Steigung -1x + b sein.
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In der Gleichung wird y gleich der Steigung -1x + b sein.
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wobei b der y-Achsenabschnitt ist.
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Wir wissen, dass die Gerade diesen Punkt enthält,
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mit diesem Wissen können wir b ausrechnen.
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mit diesem Wissen können wir nach b auflösen.
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Die Gerade enthält diesen Punkt,
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das heißt, der Wert x = 4/5 und y = 0
muss diese Gleichung erfüllen.
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das heißt, der Wert x = 4/5 und y = 0
muss diese Gleichung erfüllen.
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Probieren wir es. y = 0, wenn x = 4/5.
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Probieren wir es. y = 0, wenn x = 4/5.
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0 = -1 mal 4/5 + b.
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0 = -1 mal 4/5 + b.
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Das ergibt: 0 = -4/5 + b.
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Wir können 4/5 zu beiden Seiten
der Gleichung addieren.
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Wir können 4/5 zu beiden Seiten
der Gleichung addieren.
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Wir können 4/5 zu beiden Seiten
der Gleichung addieren.
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So heben sich die beiden auf.
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Das ergibt b = 4/5.
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Das ergibt b = 4/5.
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Wir kennen jetzt die Gleichung der Geraden.
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y = -1 mal x + b, das schreiben wir als y= -x+b
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wobei b = 4/5 ist, also y=-x+4/5
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Lösen wir nun diese Aufgabe.
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Die Gerade enthält die Punkte (2 | 6) und (5 | 0).
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Wir kennen weder die Steigung
noch den y-Achsenabschnitt.
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Wir kennen weder die Steigung
noch den y-Achsenabschnitt.
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Aber mit diesen Koordinaten
können wir beide herausfinden.
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Aber mit diesen Koordinaten
können wir beide herausfinden.
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Als erstes errechnen wir die Steigung.
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Die Steigung m ist gleich der Veränderung von y
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durch die Veränderung von x.
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Was ist die Veränderung von y?
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Wir haben 6 - 0.
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Wir haben 6 - 0.
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Wir haben 6 - 0.
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Wir haben 6 - 0.
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6 - 0 ist unsere Veränderung von y.
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Unsere Veränderung von x ist 2 - 5.
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Ich habe verschiedene Farben verwendet,
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um zu zeigen, dass ich zuerst diesen y-Wert (6) verwendete,
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also auch zuerst diesen x-Wert verwenden muss.
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Das ist die Koordinate (2, 6).
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Das ist die Koordinate (5 | 0).
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Ich hätte die 2 und die 5 nicht tauschen können.
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Dann hätte ich eine negative Antwort erhalten.
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Welches Ergebnis erhalten wir?
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Das ist gleich zu 6 - 0 = 6.
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2 - 5 = -3.
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Wir erhalten 6 durch 3,
das ist dasselbe wie -2.
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Wir erhalten 6 durch 3,
das ist dasselbe wie -2.
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Das ist unsere Steigung.
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Wir wissen, die Gerade ist y = -2 (Steigung) x + b.
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Wir wissen, die Gerade ist y = -2 (Steigung) x + b.
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Wir wissen, die Gerade ist y = -2 (Steigung) x + b.
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Wir können es genauso wie die letzte Aufgabe lösen.
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Wir lösen die Gleichung mit
einem dieser Punkte nach b auf.
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Wir können jeden verwenden.
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Beide sind auf der Geraden,
also erfüllen beide die Gleichung.
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Beide sind auf der Geraden,
also erfüllen beide die Gleichung.
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Ich benutze (5 | 0), eine Null ist immer praktisch.
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Ich benutze (5 | 0), eine Null ist immer praktisch.
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Das macht das Rechnen einfacher.
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Wir setzen die (5 | 0) hier ein.
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y = 0, wenn x = 5.
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Also y = 0, wenn du -2 mal 5 hast,
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wenn x = 5 + b.
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Du erhältst 0 = -10 + b.
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Addierst du 10 zu beiden Seiten der Gleichung,
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heben sich diese beiden gegenseitig auf.
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Du erhältst b = 10 + 0.
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Also ist b = 10.
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Jetzt kennen wir die Gleichung der Geraden.
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Die Gleichung ist: y = -2x + b +10.
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Die Gleichung ist: y = -2x + b +10.
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Fertig.
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Lösen wir eine andere Aufgabe.
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Diese Gerade enthält die Punkte (3 | 5) und (-3 | 0).
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Diese Gerade enthält die Punkte (3 | 5) und (-3 | 0).
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Wir fangen wieder mit der Steigung m an.
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Wir fangen wieder mit der Steigung m an.
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Das ist das gleiche wie die Steigung durch die Länge,
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das gleiche wie die Veränderung von y
durch die Veränderung von x.
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Wären das hier deine Hausaufgaben,
müsstest du nicht alles ausschreiben.
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Wären das hier deine Hausaufgaben,
müsstest du nicht alles ausschreiben.
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Aber ich möchte, dass du verstehst,
dass all des dasselbe ist.
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Aber ich möchte, dass du verstehst,
dass all dies dasselbe ist.
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Was ist unsere Veränderung von y
durch unsere Veränderung von x.
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Fangen wir hier an.
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Ich könnte jeden dieser Punkte nehmen.
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Nehmen wir 0 - 5.
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Ich nehme erst diese Koordinate.
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Für mich ist sie so etwas wie der Endpunkt.
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Als ich das zuerst lernte, wollte ich
immer das x im Zähler haben.
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Als ich das zuerst lernte, wollte ich
immer das x im Zähler haben.
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Jetzt verwende ich die y im Zähler.
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Das ist der zweite der Koordinaten.
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Im Nenner haben wir -3 - 3.
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Das ist die Koordinate (-3 | 0).
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Das ist die Koordinate (3 | 5).
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Wir subtrahieren das.
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Was ist das Ergebnis?
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Das Ergebnis ist: -5/ -6.
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Das Ergebnis ist: -5/ -6.
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Das Ergebnis ist: -5/ -6.
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Die Minuszeichen heben sich gegenseitig auf.
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Du erhältst 5/6.
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Wir wissen, die Gleichung wird so aussehen:
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y = 5/6 x + b.
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Wir nehmen einen dieser Koordinaten als b.
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Wir nehmen einen dieser Koordinaten als b.
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Ich nehme gerne den mit der Null.
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Also y = 0, wenn x = -3+b.
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Ich habe -3 für x und 0 für y genommen.
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Das funktioniert, weil diese Punkte
auf der Geraden sind.
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Das erfüllt die Gleichung der Geraden.
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Lösen wir nach b auf.
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-3 durch 3 = 1.
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-3 durch 3 = 1.
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6 durch 3 = 2.
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Also 0 = -5/2 + b.
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Wir könnten 5/2 zu beiden Seiten
der Gleichung addieren.
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Wir könnten 5/2 zu beiden Seiten
der Gleichung addieren.
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Ich ändere meine Schreibweise,
so lernst du beide kennen.
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Ich ändere meine Schreibweise,
so lernst du beide kennen.
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Die Gleichung ist: 5/2 = b.
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Die Gleichung ist: 5/2 = b.
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b = 5/2.
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Die Gleichung unserer Geraden ist:
y = 5/6 x + b,
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also y = 5/6 x + 5/2.
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Fertig.
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Lösen wir eine andere Aufgabe.
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Hier ist ein Graph.
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Finden wir die Gleichung dieses Graphen heraus.
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Da ist etwas einfacher.
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Was ist die Steigung?
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Die Steigung ist die Veränderung von y
durch die Veränderung von x.
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Die Steigung ist die Veränderung von y
durch die Veränderung von x.
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Bewegen wir uns auf der x-Achse um einen Punkt,
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ist unsere Veränderung von x = 1.
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ist unsere Veränderung von x = 1.
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Ich verändere meinen x-Wert in Schritten von 1.
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Was ist die Veränderung von y?
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Scheinbar verändert sich y um 4.
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Meine Veränderung von y scheint 4 zu sein,
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wenn meine Veränderung von x =1 ist.
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Veränderung von y durch Veränderung von x,
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4/1.
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Die Steigung ist gleich 4.
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Was ist der y-Achsenabschnitt?
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Schauen wir uns den Graphen an.
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Sie kreuzt die y-Achse bei -6,
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also dem Punkt (0 | -6).
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Also b = -6.
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Wir kennen die Gleichung der Geraden.
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Sie lautet: y = Steigung mal x plus dem y-Achsenabschnitt.
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Also y = 4x - 6.
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Also y = 4x - 6.
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Also y = 4x - 6.
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Also y = 4x - 6.
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Lösen wir noch eine Aufgabe.
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f(1,5) = -3, f(-1) = 2.
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f(1,5) = -3, f(-1) = 2.
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Was heißt das?
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Das ist nur eine Möglichkeit dir zu sagen,
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dass an dem Punkt, an dem x = 1,5 ist,
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die Funktion gleich -3 ist.
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Die Koordinate (1,5 | -3) liegt auf der Geraden.
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Die Koordinate (1,5 | -3) liegt auf der Geraden.
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Das hier zeigt uns, dass an dem Punkt, an dem x = -1 ist,
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f von x = 2 ist.
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Das ist nur eine schicke Art zu sagen,
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dass beide Punkte auf der Geraden liegen.
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Diese Aufgabe soll dich mit
der Schreibweise vertraut machen,
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damit du nicht verunsichert bist,
wenn du sie einmal siehst.
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damit du nicht verunsichert bist,
wenn du sie einmal siehst.
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Berechnest du die Funktion von 1,5, erhältst du -3.
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Das ist die Koordinate, wenn y = f(x).
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Das ist die Koordinate, wenn y = f(x).
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Das wäre die y-Koordinate.
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y = -3, wenn x = 1,5.
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Berechnen wir die Steigung der Geraden.
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Berechnen wir die Steigung der Geraden.
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Die Steigung ist die Veränderung von y
durch die Veränderung von x.
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Fangen wir an: 2 - -3, das sind die y-Werte,
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durch -1 - 1,5.
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durch -1 - 1,5.
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durch -1 - 1,5.
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durch -1 - 1,5.
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Minus 1 und die 2 stammen von hier,
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daher benutze ich beide zuerst.
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Würde ich diese hier zuerst verwenden,
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müsste ich zuerst sowohl das x als auch das y verwenden.
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Benutze ich zuerst die 2, muss ich zuerst die -1 verwenden.
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Daher nehme ich verschieden Farben.
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Die Gleichung ergibt: 2 + 3, also 5.
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Die Gleichung ergibt: 2 + 3, also 5.
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Die Gleichung ergibt: 2 + 3, also 5.
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-1 - 1,5 = -2,5.
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5 durch 2,5 = 2.
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Die Steigung dieser Geraden ist gleich -2.
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Ich will dir zeigen, dass die Reihenfolge ganz egal ist.
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Ich will dir zeigen, dass die Reihenfolge ganz egal ist.
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Wenn ich zuerst diese Koordinate verwende, dann auch diese. Drehen wir die Reihenfolge um.
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Wenn ich zuerst diese Koordinate verwende, dann auch diese. Drehen wir die Reihenfolge um.
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Würde ich -3 - 2 durch 1,5 - -1 schreiben,
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Würde ich -3 - 2 durch 1,5 - -1 schreiben,
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Würde ich -3 - 2 durch 1,5 - -1 schreiben,
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Würde ich -3 - 2 durch 1,5 - -1 schreiben,
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sollte ich dasselbe Ergebnis erhalten.
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sollte ich dasselbe Ergebnis erhalten.
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-3 - 2 = -5.
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1,5 - -1 = 1,5 + 1.
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Also 2,5.
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Das Ergebnis ist wieder -2.
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Es ist egal, welche Koordinate du als Start- oder Endpunkt wählst, so lange du dabei bleibst.
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Es ist egal, welche Koordinate du als Start- oder Endpunkt wählst, so lange du dabei bleibst.
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Es ist egal, welche Koordinate du als Start- oder Endpunkt wählst, so lange du dabei bleibst.
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Ist dies das Anfangs-y, muss dies das Anfangs-x sein.
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Ist das das End-y, muss das das End-x sein.
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Ist das das End-y, muss das das End-x sein.
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Wir wissen also, die Steigung beträgt -2.
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Die Gleichung ist:
y = -2x plus dem y-Achsenabschnitt.
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Die Gleichung ist:
y = -2x plus dem y-Achsenabschnitt.
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Nehmen wir eine dieser Koordinaten.
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Ich nehme diese, denn sie hat keine Dezimalstelle.
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Also ist y = 2, wenn x = -1.
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Also ist y = 2, wenn x = -1.
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Also ist y = 2, wenn x = -1.
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Dann haben wir noch das + b.
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Also ist 2 = -2 + b.
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Ziehst du 2 von beiden Seiten der Gleichung ab,
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Ziehst du 2 von beiden Seiten der Gleichung ab,
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erhältst du auf der linken Seite 0.
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0 = b.
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Daher ist b = 0.
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Die Gleichung der Geraden ist einfach:
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y = -2x.
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y = -2x.
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Willst du sie als Funktion schreiben,
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wäre dies: f(x) = -2x.
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Ich nahm an, dass y = f(x).
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Das ist tatsächlich die Gleichung.
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Hier oben ist y nicht erwähnt.
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Du kannst einfach schreiben:
f(x) = 2x.
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All diese Koordinaten
sind die Koordinaten von x und f(x).
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All diese Koordinaten
sind die Koordinaten von x und f(x).
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Die Definition der Steigung kann auch als Veränderung von f(x) durch Veränderung von x geschrieben werden.
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Die Definition der Steigung kann auch als Veränderung von f(x) durch Veränderung von x geschrieben werden.
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Dies sind alles äquivalente Wege für die gleiche Sache.
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