Probability with Playing Cards and Venn Diagrams

Pojďme si ukázat pravděpodobnost na hracích kartách

Pro účely tohoto videa budeme předpokládat,

že náš balíček neobsahuje žádné žolíky.

Mohli bychom řešit stejné úlohy i s žolíky,

akorát bychom dostali trochu jiné výsledky.

Takže máme balíček bez žolíků

Zamysleme se nejprve nad tím,

kolik karet máme v normálním balíčku?

Máme 4 barvy

a ty jsou: piky, káry, kříže

a srdce.

Máme 4 barvy

a v každém z těchto balíčků máme 13 různých

druhů karet, jinak řečeno, každá karta má svoji hodnotu.

Máme tedy 13 druhů karet

Máme eso, potom 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

a potom kluka, krále a dámu.

A to je 13 karet.

Takže pro každou barvu můžeme mít

jakoukoliv hodnotu a pro jakoukoliv hodnotu můžeme mít jakoukoliv barvu

Máme tedy kárového kluka, křížového kluka,

pikového kluka nebo srdcového kluka.

Takže pokud vynásobíme tyto dvě věci,

(můžeme vzít balíček karet a prostě je spočítat)

ale pokud to mezi sebou vynásobíme

(máme 4 barvy, každá barva má 13 druhů karet)

tak dostaneme 4 krát 13 karet

což je 52 karet ve standardním hracím balíčku.

A nebo jinak:

máme 13 druhů karet

a každá z nich se vyskytuje ve 4 různých barvách,

což je 13 krát 4 a dostaneme opět 52.

Tak se nyní pojďme zamyslet nad pravděpodobností

různých událostí.

Řekněme, že zamíchám balíček,

opravdu velmi důkladně.

A pak z něj náhodně vytáhnu jednu kartu.

A chci vědět, jaká je pravděpodobnost,

že si vytáhnu kluka?

Tak, kolik je stejně pravděpodobných možností?

Můžu si vytáhnout jakoukoliv z 52 karet, takže

je 52 možností, že si vytáhnu kartu.

A kolik z těchto 52 možností je kluků?

Máme pikového kluka, kárového kluka,

křížového kluka a srdcového kluka.

To jsou 4 kluci.

V balíčku jsou 4 kluci.

To máme 4 lomeno 52, obojí je dělitelné 4

4 děleno 4 je 1

52 děleno 4 je 13.

Teď se zamysleme nad

dalším příkladem.

Vrátím kluka zpátky do balíčku a znovu ho zamíchám.

Znovu mám tedy 52 karet.

Jaká je teď pravděpodobnost, že vytáhnu srdce?

Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vytažená karta

ze zamíchaného balíčku bude srdcová?

Tak znovu, máme 52 karet, z kterých je možné tahat,

52 stejně pravděpodobných možností, které mohou nastat.

A kolik z nich je srdcových?

V podstatě je zde 13 srdcových karet.

Od každé barvy je v balíčku 13 druhů karet,

takže je tam 13 srdcových, 13 kárových,

13 pikových a 13 křížových.

Takže 13 z těchto 52 karet bude srdcových.

A obojí je dělitelné13, což se rovná jedné čtvrtině.

Takže jednou ze 4 pokusů si vytáhnu srdcovou kartu.

Pravděpodobnost, že si náhodně vytáhnu srdcovou kartu ze zamíchaného balíčku,

se rovná jedné čtvrtině.

Nyní pojďme udělat to samé trochu zajímavějším.

ale možná je to celkem zřejmé: Jaká bude pravděpodobnost,

že si vytáhnu srdcového kluka?

Pokud jste alespoň trochu obeznámeni s kartami, tak víte,

že v balíčku je právě jedna srdcová karta, která je zároveň i kluk.

Je to doslovně srdcový kluk.

Takže se ptáme, jaká je pravděpodobnost, že si vytáhneme

právě srdcového kluka?

No, je tu pouze jedna možnost, pouze jedna karta splňuje tyto požadavky

a my máme 52 možných karet.

Takže je tu šance 1:52, si vytáhnu srdcového kluka,

kartu, která je zároveň kluk i srdce.

A teď pojďme udělat něco zajímavějšího.

Jaká je pravděpodobnost, a teď se zastavíme a promyslíme si

to trochu předtím než vám dám odpověď, jaká je

pravděpodobnost toho, že když ze zamíchaného balíčku

náhodně vyberu kartu, jaká je pradvěpodobnost,

že tato karta bude buď kluk nebo srdce?

Takže to může být buď srdcový kluk nebo kárový kluk,

nebo pikový kluk nebo srdcová královna

nebo srdcová dvojka. Jaká je pravděpodobnost toho, jakou kartu si vytáhnu?

A tohle je trochu zajímavější věc, protože

my v první řadě víme, že je tu 52 možností,

ale kolik z těchto možností bude splňovat daná kritéria,

dané podmínky, že to bude kluk nebo srdce.

A abychom to pochopili, nakreslím Vennův diagram.

Zní to přitažlivě, ale nic přitažlivého to není.

Představme si, že tento obdélník, který tu kreslím představuje,

všechny výsledky. Pokud chcete, můžete si představit, že je to

oblast s 52 prvky. Takže je to 52 možných výsledků, a teď kolik

z těchto výsledků bude kluk?

My už jsme se předtím naučili, že 1 ze 13 možných výsledků

bude kluk. Takže mohu nakreslit malý kruh v tomto prostoru

a teď jen odhaduji,

který představuje pravděpodobnost, že to bude kluk.

Takže to bude přibližně 1/13 nebo 4/52 tohoto prostoru

přímo tady. Takže to namaluji takto - toto tady

je pravděpodobnost, že to bude kluk. To jsou 4 možné

karty z 52. Tedy 4/52 nebo 1/13.

A teď jaká je pravděpodobnost, že si vytáhnu srdce?

No, namaluji další kruh zde, který tuto pravděpodobnost bude představovat.

13 z 52 karet jsou srdcové karty.

A jedna z těchto karet bude představovat kluka i srdce.

Takže je vzájemně překryjí, a snad to bude dávat smysl

za chvilku.

Takže tu máme 13 karet, které jsou srdcové.

Takže toto je celkový počet srdcových karet.

A vlastně nechte mě to tu také přepsat,

ať je to srozumitelnější,

Takže toto je počet kluků. A samozřejmě to překrytí

právě zde je počet kluků a srdcí. Počet těch prvků,

které ze všech 52 prvků v tomto prostoru jsou současně kluk i srdce.

Je to v obou kruzích, v zeleném kruhu i

v oranžovém kruhu. Je to právě zde a já to označím žlutě,

protože jsem řešení tohoto problému psal žlutou barvou.

Právě toto zde je počet kluků a srdcí.

Teď tam namaluji malou šipku. Začíná se to trochu zaplňovat.

Měl jsem to nakreslit trochu větší.

Počet kluků a srdcí.

A to je ten překryv tady. Takže jaká je pravděpodobnost

že si vytáhnu kluka nebo srdce?

Když se nad tím zamyslíte, pravděpodobnost bude počet

událostí, který bude splňovat dané podmínky a jeho poměr vůči celkovému počtu událostí.

A my už víme, že celkový počet událostí (možností) je 52.

Ale kolik z nich splňuje dané podmínky?

Takže se na to můžeme podívat takto -

ten zelený kruh tady je počet možností, že to bude

kluk, a ten oranžový kruh je počet možností,

že to budou srdce. Takže byste možná chtěli říct,

proč nesečteme možnosti v zeleném kruhu a v oranžovém kruhu,

ale kdybyste to udělali, tak byste události započítávali dvakrát.

Takže kdybychom je jenom sečetli, pouze řekli 4 + 13,

co bychom tím vlastně řekli?

Řekli bychom tady jsou 4 kluci

a tady je 13 srdcí.

Ale kdybychom to udělali tímto způsobem,

započítáme všechny kluky a všechny srdce v každém kruhu.

A tam kde se kruhy překrývají,

bychom započítali srdce a kluky dvakrát,

i když v tom překryvu je pouze jedna karta.

Musíme tedy od oddělit prvek (kartu), která je kluk

i srdce.

Takže oddělíme jednu.

Jiný způsob jak se na to můžeme dívat je tento.

Opravdu chceme zjistit jak je velký tento prostor tady.

Pojďme si to přiblížit. Trochu to zobecním.

Takže když máme jeden kruh tady a tady druhý,

a tady se překrývají. A my chceme zjistit celkovou plochu

obou kruhů dohromady. Můžeme vzít plochu tohoto kruhu a

tohoto kruhu a přičíst je k sobě.

Ale když to uděláme, tak vidíme, že ten překrývající se prostor

jsme započítali dvakrát.

Abychom tuto plochu započítali jen jednou, musíme ji odečíst

od celkového součtu obou ploch.

Takže toto bude plocha A a toto plocha B,

potom tento průnik bude plocha C

a součet obou ploch bude A plus B

minus C.

Takže je to stejná věc jako tady.

Tady počítáme kluky a to zahrnuje i srdcového kluka,

a tady počítáme srdce a to také zahrnuje srdcového kluka.

Takže jsem srdcového kluka započítali dvakrát, musíme ho tedy jednou odečíst.

Takže to bude 4 plus 13 minus 1.

Takže to bude 16/52, oba dva členy

můžeme dělit 4.

Takže to bude stejné jako

když vydělím 16 děleno 4 = 4, 52 děleno 4

je 13.

Takže je to pravděpodobnost 4/13, že si vytáhnete kluka nebo srdce.