Probability with Playing Cards and Venn Diagrams

Привет. Давайте немного порешаем задачи на вероятность, используя игральные карты.

И для этого мы предположим, что в колоде нет джокера.

Вы могли бы решить такие же задачи и с джокером в колоде,

тогда бы просто ответы немного отличались.

Давайте сперва подумаем

сколько карт в обычной игральной колоде?

Итак, есть 4 масти…

4 масти… Это пики, бубны, трефы и черви.

И у каждой масти по 13 разных типов карт

иногда это называется ранг

Итак, каждая масть имеет 13 разных типов карт:

это туз, затем 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

валет, король, дама.

Вот эти 13 карт.

И для каждой из них также есть своя масть.

Например, у вас может быть пиковый валет, бубновый валет, трефовый или червонный валет.

И если вы все это перемножите…

Собственно, вы можете взять колоду карт и посчитать их,

выкинув джокера из колоды, но если перемножить…

У вас есть 4 масти, каждая масть имеет по 13 карт.

Поэтому 4*13 = 52 - и это общее количество карт в колоде.

По-другому можно было и так вычислить:

есть 13 разных типов карт, и каждая из них может иметь 4 масти,

поэтому общее количество карт равно 13*4,

и, опять же, получается 52 карты.

А теперь давайте подумаем о вероятности некоторых событий.

Предположим, что я тасую колоду, и тасую очень-очень хорошо,

а затем наугад вытаскиваю из нее карту.

И я хочу подумать: какова вероятность того, что вытащу валета?

Итак, сколько в этом случае равновероятных событий?

Я мог бы вытащить любую из 52 карт, потому для этого случая 52 возможности.

А сколько из этих 52 возможностей – валеты?

Ну, есть пиковый валет, бубновый валет, трефовый и червонный валет, поэтому всего 4 валета.

4 валета в колоде.

Итак, вероятность равна 4/52.

Числитель и знаменатель делятся на 4 - можно разделить, тогда получится 1/13.

А теперь давайте подумаем о вероятности…

Ну, мы начинаем сначала.

Я ложу вольта обратно в колоду, снова тасую колоду.

И опять же - у меня всего 52 карты.

Итак, какова вероятность того, что я вытащу карту червовой масти?

Какова вероятность того, что я наугад вытаскиваю карту

из перетасованной колоды и получаю карту червовой масти?

И опять же – всего есть 52 карты, из которых я мог бы выбрать

(52 возможных, равновероятных события, с которыми мы имеем дело).

И сколько из этих карт имеют червовую масть?

Ну, очевидно, 13 из них – червовой масти, т. к. каждая масть имеет 13 разных типов карт.

Т.е. 13 карт в колоде – червовой масти, 13 – бубновой, 13 – пиковой, 13 – трефовой.

Итак, 13 из 52 карт – червовой масти. Оба этих числа можно разделить на 13, поэтому 13/52 – то же, что и ¼.

Т.е. в одном из четырех случаев, когда я вытаскиваю карту из колоды,

я могу вытащить карту червовой масти; когда наугад вытаскиваю карту из перетасованной колоды.

А теперь давайте решим некоторые задачи, более интересные.

Вот это все, возможно, очевидно.

Какова вероятность того, что я вытащу валета, и он будет червовой масти? Червовый валет…

Ну, если вы хорошо знакомы с игральными картами,

то знаете, что, собственно, есть только одна такая карта – валет и червовой масти.

Тогда какова вероятность того, что я вытащу этого червового валета?

Итак, есть только одна карта, которая соответствует вот этим условиям, и всего 52 карты.

Значит, вероятность того, что я вытащу червового валета, равна 1/52;

вероятность того, что я вытащил валета и это именно червовый валет.

А теперь решим еще более интересный пример.

Какова вероятность… Возможно, вы хотите, чтоб я записал этот вопрос,

ну, чтоб вы подумали над ним перед тем, как я дам ответ.

Какова вероятность… И опять же: есть колода из 52 карт,

я ее перетасовываю, наугад вытаскиваю из нее карту.

Какова вероятность того, что эта карта окажется валетом ИЛИ червовой масти?

Т.е. это мог бы быть червовый валет, или бубновый валет, или пиковый валет.

Или это могла бы быть червовая дама, или червовая «двойка».

Чему же равна эта вероятность?

И этот пример уже поинтереснее…

Прежде всего, мы знаем, что здесь 52 возможности.

Сколько из этих возможностей удовлетворяют заданным условиям

(то, что эта карта – валет или любая червовой масти)?

И для понимания я нарисую диаграмму Венна.

Звучит как что-то фантастическое, но ничего подобного.

Итак, представьте, что прямоугольник, который я рисую здесь, отображает все результаты.

Если хотите, можете представить, что его площадь равна 52.

Т.е. здесь всего 52 возможных результата. И сколько из этих результатов определены как «валет»?

Мы уже узнали это. 1 из 13 результатов определен как «валет».

Я могу нарисовать здесь небольшой круг.

Это будет область (так, приблизительная), которая отображает вероятность валета.

Эта вероятность приблизительно равна 1/13 (или 4/52) от всей области прямоугольника.

Нарисую вот так. Вот эта область – вероятность валета.

Это 4 возможных карты из 52. Вероятность равна 4/52 или 1/13.

А какова вероятность того, что я вытащу карту червовой масти?

Нарисую здесь еще один круг, изображающий это.

13 из 52, 13 карт из 52 представляют собой карты червовой масти.

И, собственно, одна из них является валетом червовой масти.

Нарисую так, чтоб оба круга пересекались.

Тогда, надеюсь, во второй раз это станет понятно.

Вот. Это 13 карт, которые червовой масти.

Т.е. это количество карт червовой масти.

Собственно, давайте я так же запишу и вверху.

Так будет понятней. Эту надпись удаляю…

Итак, это количество валетов.

И, конечно же, это пересечение, вот здесь – это количество валетов червовой масти.

Количество элементов из всех 52…

Здесь есть оба набора значений (валеты и червовые масти) –

это вот этот, зеленый, круг и вот этот, оранжевый.

Т.е. вот этот элемент, вот здесь… обозначу его желтым…

Вот этот элемент – это количество валетов червовой масти.

Нарисую здесь небольшую стрелку…

А то рисунок станет немного запутанным, если нарисую побольше.

Итак, это количество валетов червонной масти. И это пересечение, вот здесь.

Какова же все-таки вероятность того, что будет валет или карта червовой масти?

Если подумать над этим, то вероятность будет равна отношению количества событий,

удовлетворяющих данным условиям, к общему количеству событий.

Вы знаете, что общее количество событий равно 52.

Но сколько событий удовлетворяют этим условиям?

Чтобы это выяснить, вы могли бы рассуждать так:

зеленый круг (вот здесь) – это количество карт вольтов, оранжевый – количество карт червовых мастей;

тогда, возможно, если бы мы сложили эти числа…

Но если бы вы это сделали, это был бы двойной счет.

Потому что если вы их сложите… если сложите 4 и 13, что здесь подразумевается?

То, что здесь 4 вольта и 13 карт червовой масти.

Если вы делаете таким способом, то в обоих случаях вы считаете валетов червовой масти.

Вы подставляете «валетов червовой масти» сюда и сюда.

Т.е. это означает подсчет валетов червовой масти дважды, хотя есть всего одна такая карта.

Поэтому вам следовало бы вычесть элемент, который удовлетворяет условию «валет червовой масти».

Т.е. вычесть 1.

Другой способ размышления – вы действительно хотите вычислить общую площадь вот этой области.

Вы хотите вычислить общую площадь…

Впрочем, давайте нарисую это крупным планом.

Есть один круг, вот такой, и есть второй, пересекающий его.

И вы хотите вычислить общую площадь этих объединенных кругов.

Тогда площадь вот этого круга вы сложили бы с площадью вот этого.

Но если бы вы это сделали, то заметили бы,

что при сложении этих двух площадей площадь этого элемента вы сложили дважды.

И чтобы площадь этого элемента засчиталась только 1 раз, нужно просто ее вычесть из этой суммы.

Т.е. если эта площадь равна А, эта площадь – В, а пересечение (там, где они перекрывают друг друга) – С,

то объединенная площадь будет равна А + В и минус то, где они пересекаются (минус С).

Вот это – то же самое, что записано здесь.

Мы суммируем область «всех валетов» (и она включает в себя валета червовой масти)

и суммируем область «всех карт червовой масти» (и она тоже включает в себя валета червовой масти).

Мы не можем засчитать валета червовой масти дважды, поэтому должны вычесть 1.

Т.е. здесь будет 4 + 13 – 1. И все это будет равно 16/52.

Числитель и знаменатель делятся на 4.

Получится… 16 разделить на 4 – будет 4, а 52 разделить на 4 – будет 13.

Итак, вероятность того, что будет валет ИЛИ карта червовой масти равна 4/13. Пока!