Probability with Playing Cards and Venn Diagrams

ลองทำเรื่องความน่าจะเป็นเกี่ยวกับไพ่สักหน่อย

สำหรับวิดีโอนี้ เราจะถือว่า

สำรับของเราไม่มีไพ่โจ๊กเกอร์

คุณทำโจทย์แบบเดียวกันแบบมีโจ๊กเกอร์ก็ได้,

คุณจะได้คำตอบที่แตกต่างไปหน่อย

พักเรื่องนั้นไว้

อย่างแรกลองคิดดูว่า

เรามีไพ่กี่ใบในสำรับไพ่ปกติ?

เรามีไพ่อยู่ 4 ดอก

และดอกได้แก่. โพธิ์ดำ ข้าวหลามตัด ดอกจิก

และโพธิ์แดง

คุณมีอยู่สี่ดอก

แล้วในแต่ละดอกก คุณมีไพ่ 13 ใบ

แตกต่างกัน บางครั้งมันเรียกว่า อันดับ

ดังนั้นในแต่ละดอก มีไพ่แตกต่างกัน 13 ใบ

คุณมีเอซ, แล้วก็มีสอง, สาม

สี่, ห้า, หก, เจ็ด, แปด, เก้า, สิบ

แล้วก็มีแจ็ค, คิง และควีน

นั่นคือไพ่ 13 ใบ

คุณก็ได้ว่าแต่ละดอก คุณมีไพ่

แบบนี้, แต่ละแบบคุณมีไพ่ดอกต่างๆ

คุณก็มีแจ็คข้าวหลามตัด, แจ็คดอกจิก

แจ็คโพธิ์ดำ หรือแจ็คโพธิ์แดง

แล้วถ้าคุณคูณเลขสองตัวนี้

คุณจะได้จำนวนไพ่ทั้งกอง แล้ว

ถ้าคุณนับมัน, เอาโจ๊กเกอร์ออกแล้วนับทั้งหมด

แต่ถ้าคุณคูณออกมา, คุณจะได้ 4 ดอก

แต่ละดอกมี 13 แบบ

คุณจึงได้ไพ่ 4 คูณ 13 ใบ

หรือคุณมีไพ่ 52 ใบในสำรับไพ่มาตรฐานนั่นเอ ง

วิธีที่คุณบอกได้อีกอย่างคือว่า: ดูสิ, มีไพ่ทั้งหมด

13 อันดับหรือแบบ

แต่ละแบบมีดอก 4 ดอก,

13 คูณ 4 เหมือนเดิม คุณจะได้ไพ่ 52 ใบ

ทีนี้พักเรื่องนั้นไว้, ลองคิดความน่าจะเป็น

ของเหตุการณ์ต่างๆ กัน

สมมุติว่าผมสับไพ่ในกอง,

ผมสับไพ่ดีมากๆ, มากๆ

แล้วผมก็หยิบไพ่จากกองอย่างสุ่มมาหนึ่งใบ

และผมอยากคิดว่าความน่าจะเป็นที่ผมหยิบ

ความน่าจะเป็นที่ผมหยิบได้แจ็คเป็นเท่าไหร่?

ทีนี้, มันมีเหตุการณ์ที่มีโอกาสเกิดเท่ากันอยู่กี่เหตุการณ์?

ตรงนี้, ผมสามารถหยิบไพ่ใดใน 52 ใบขึ้นมาก็ได้, นั่นคือ

มีความเป็นไปได้ 52 อย่างตอนผมหยิบไพ่ขึ้นมา

แล้วในความเป็นไปได้ 52 อย่างนั้น มันเป็นแจ็คอยู่กี่อัน?

ทีนี้, คุณมีแจ็คโพธิ์ดำ, แจ็คข้าวหลามตัด

แจ็คดอกจิก และแจ็คโพธิ์แดง

มีแจ็คอยู่ 4 ตัว

มันมีแจ็ค 4 ใบในกอง

มันจึงเป็น 4 ส่วน 52, ทั้งคู่หารด้วย 4 ลงตัว

4 หาร 4 ได้ 1

52 หารด้วย 4 ได้ 13

ทีนี้ลองคิด

ความน่าจะเป็น, ผมจะ, คุณก็รู้, เราจะเริ่มต้นใหม่

ผมจะใส่แจ็คกลับเข้าไป, ผมจะสับไพ่ในกองใหม่

เหมือนเดิม ผมมีไพ่ 52 ใบ

แล้วความน่าจะเป็นที่ผมได้ โพธิ์แดงเป็นเท่าไหร่?

ความน่าจะเป็นที่ผมเลือกไพ่อย่างสุ่ม

จากสำรับที่สับแล้ว ออกมาเป็นโพธิ์แดง มีโอกาสเท่าไหร่? ดอกเป็นโพธิ์แดง

เหมือนเดิม, มันมีไพ่อยู่ 52 ใบที่ผมหยิบขึ้นมาได้

มีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ และโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กันอยู่ 52 เหตุการณ์ที่เราเกี่ยวข้อง

แล้วเหตุการณ์นี้เป็นโพธิ์แดงบ้าง?

ทีนี้, มีอยู่ 13 ใบเป็นโพธิ์แดง แล้วแต่

ละดอกคุณมีไพ่ 13 ใบ ดังนั้นมีโพธิ์แดงอยู่

13 ใบในกองเช่นกัน, มีข้าวหลามตัด 13 ใบในกอง

มีโพธิ์ดำ 13 ใบในกอง, แล้วก็ดอกจิก 13 ใบในกองด้วย

ดังนั้นมีโพธิ์แดง 13 จาก 52 ใบ

และทั้งสองตัวหารด้วย 13 ลงตัว, นี่ก็

เหมือนกับ 1 ส่วน 4 ผมจะหยิบได้ 1 ใน 4 ครั้ง

หรือผมมีความน่าจะเป็น 1 ใน 4 ที่จะได้ไพ่โพธิ์แดง

เมื่อผมลงมือ,เมื่อผมหยิบไพ่อย่างสุ่ม

จากกองที่สับแล้ว

ทีนี้ลองทำสิ่งที่น่าสนใจขึ้น

หรือบางทีเป็นสิ่งที่ง่ายขึ้นหน่อย: ความน่าจะเป็น

ที่ผมจะหยิบไพ่เป็นแจ็ค และเป็นโพธิ์แดงเป็นเท่าไหร่?

ทีนี้, ถ้าคุณคุ้นเคยกับไพ่พอสมควร, คุณจะรู้

ได้ว่ามันมีไพ่ใบเดียวที่เป็นทั้งแจ็คและโพธิ์แดง

มันก็คือแจ็คโพธิ์แดงนั่นเอง

เราจึงบอกว่าความน่าจะเป็นที่เราหยิบได้ไพ่

แจ็คโพธิ์แดงพอดีเป็นเท่าไหร่?

ทีนี้, มันมีเหตุการณ์อยู่อย่างเดียว, ใบเดียวที่เป็นไปตามเงื่อนไขพวกนี้

ตรงนี้ และมันมีไพ่อยู่ 52 ใบ

มันจึงมีโอกาส 1 ใน 52 ที่ผมจะได้แจ็คโพธิ์แดง

คือสิ่งที่เป็นทั้งแจ็ค และทั้งโพธิ์แดง

ลองทำอะไรที่น่าสนใจกว่าอีกหน่อย

ความน่าจะเป็น, คุณอาจลองหยุดแล้ว

คิดสักหน่อยก่อนที่ผมจะบอกคำตอบนะ, ความน่าจะเป็น

ที่, เหมือนเดิมผมมีสำหรับไพ่ 52 ใบ, ผมสับมัน

แล้วหยิบไพ่ใบหนึ่งอย่างสุ่มจากกอง, ความน่าจะเป็นที่

ไพ่ที่ผมหยิบจะเป็นแจ็ค หรือโพธิ์แดงเป็นเท่าไหร่?

มันอาจเป็นแจ็คโพธิ์แดง หรือแจ็คข้าวหลามตัด

หรือจะเป็นแจ็คโพธิ์ดำ หรือจะเป็นควีนโพธิ์แดง

หรือจะเป็น สอง โพธิ์แดงก็ได้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้เป็นเท่าไหร่?

นี่อาจดูน่าสนใจกว่าหน่อย เพราะ

อย่างแรกเรารู้ว่ามันมีความเป็นไปได้ 52 อย่าง

แต่ความเป็นไปได้เหล่านี้ มีกี่อันที่ตรงตาม

เงื่อนไขนี้, ว่ามันเป็นแจ็คหรือเป็นโพธิ์แดง

เพื่อหาคำตอบ ผมจะวาดแผนภาพเวนน์

ฟังดูสวยหรู, แต่ไม่มีอะไรหรูหราอะไรเลย

จินตนาการว่าสี่เหลี่ยมที่ผมวาดนี้ แทน

ผลลัพธ์ทั้งหมด แล้วถ้าคุณต้องการ คุณอาจนึกภาพว่ามัน

มีพื้นที่เท่ากับ 52 นี่ก็คือผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 52 อย่าง, แล้วมี

กี่อันที่ออกมาเป็นแจ็ค?

เรารู้คำตอบนี่อยู่แล้ว, 1 ใน 13 ของผลลัพธ์พวกนี้

จะออกมาเป็นแจ็ค ผมจึงสามารถวาดวงกลมตรงนี้แทนพื้นที่

และผมประมาณว่า

มันแทนความน่าจะเป็นของแจ็ค

นั่นก็ควรมีค่าประมาณ 1/13 หรือ 4/52 ของพื้นที่

ตรงนี้ ดังนั้นผมจะเขียนมันแบบนี้ เจ้านี่ตรงนี้ก็คือ

ความน่าจะเป็นที่เป็นแจ็ค มันคือ 4, มันมีไพ่เป็นไปได้อยู่

4 ใบจากทั้งหมด 52 ใบ นั่นก็คือ 4/52 หรือ 1/13

แล้วความน่าจะเป็นที่จะได้โพธิ์แดงเป็นเท่าไหร่?

ทีนี้, ผมจะวาดวงกลมอีกวงตรงนี้, มันแทนอันนั้น

13 จาก 52, 13 จาก 52 นี่แทนโพธิ์แดง

และที่จริง หนึ่งในนั้นแทนทั้งโพธิ์แดงและแจ็ค

ผมจึงจะวาดมันทับกัน และหวังว่าคุณคงเข้าใจ

ในไม่ช้า

มันมีไพ่ 13 ใบเป็นโพธิ์แดง

นี่คือจำนวนโพธิ์แดง

และที่จริง ขอผมเขียนอย่างบนตรงนี้เดียว

มันจะได้ชัดเจนหน่อย, เรากำลังดูที่ -- ดูชัดๆ

-- อยู่ที่จำนวนของแจ็ค และแน่นอนส่วนที่ทับกัน

ตรงนี้เป็นจำนวนของแจ็คกับโพธิ์แดง จำนวน

จากทั้งหมด 52 นี่ เป็นทั้งแจ็คและโพธิ์แดง

มันอยู่ในเซตทั้งสอง มันอยู่ในวงกลมสีเขียว และมันอยู่

ในวงกลมสีส้มด้วย แล้วเจ้านี่ตรงนี้ ผมจะใช้สีเหลือง

เนื่องจากผมเขียนโจทย์ด้วยสีเหลือง

เจ้านี่ตรงนี้คือจำนวนแจ็คและโพธิ์แดง

ขอผมเขียนลูกศรเล็กๆ ตรงนี้ มันเริ่มแน่นแล้ว

ผมควรวาดให้มันใหญ่หน่อย

จำนวนของแจ็คกับโพธิ์แดง

และมันทับกันอยู่ตรงนี้, ความน่าจะเป็น

ที่จะได้แจ็คหรือโพธิ์แดงเป็นเท่าไหร่?

แล้วถ้าคุณคิดถึงความน่าจะเป็น มันจะเท่ากับ

จำนวนเหตุการณ์ที่ตรงตามเงื่อนไข ส่วนจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด

ใช่แล้ว, เรารู้ว่าจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดเป็น 52

แต่มีกี่อันที่ตรงตามเงื่อนไขนี้?

มันจะเป็นจำนวน, มันจะเท่ากับ

คุณก็บอกว่า: ลองดูสิ, วงกลมสีเขียวตรงนี้บอกจำนวน

ของแจ็ค วงกลมสีส้มบอกจำนวน

ของโพธิ์แดง แล้วคุณอาจบอกว่า

อ้าว, ทำไมเราไม่รวมวงกลมสีเขียวกับสีส้มเลย

ถ้าคุณทำอย่างนั้น คุณจะนับซ้ำ

เพราะถ้าคุณบวกมันเข้าด้วยกัน, ถ้าคิด 4 บวก 13

เรากำลังบอกว่าอะไร?

เรากำลังบอกว่า มันมีแจ็ค 4 ใบ และเราบอกว่า

เรามีโพธิ์แดง 13 ใบ

แต่ทั้งสองกรณี, เวลาเราทำแบบนี้

เรากำลังนับแจ็คโพธิ์แดงพร้อมกันทั้งสองกรณี

เราใส่แจ็คโพธิ์แดงตรงนี้ แล้วเราก็ใส่แจ็คโพธิ์แดงตรงนี้

เราจึงนับแจ็คโพธิ์แดงสองครั้ง, แม้ว่าเราจะ

มีไพ่นั้นแค่ใบเดียว ดังนั้นคุณต้องลบค่าร่วมกันออกไป

คุณต้องลบตัวที่อยู่ทั้งแจ็คและ

โพธิ์แดงออกไป

คุณก็ลบ 1 ออก

วิธีคิดอีกอย่างคือว่า

คุณหาพื้นที่ทั้งหมดตรงนี้ได้

ขอผมขยายเข้าไปหน่อย ผมจะพูดโดยทั่วไปหน่อย

ถ้าคุณมีวงกลมวงหนึ่งแบบนี้ แล้วคุณมีวงกลม

ทีทับกันแบบนี้ แล้วคุณอยากหาพื้นที่ทั้งหมด

ของวงกลมสองวงรวมกัน คุณก็ดูพื้นที่

ของวงกลมนี้ แล้วคุณก็บวกมันเข้ากับพื้นที่ของวงกลมนี้

แต่เมื่อคุณทำอย่างนั้น, คุณจะเห็นว่าเวลาคุณบวกพื้นที่สองว่าง

คุณจะนับพื้นที่นี้สองครั้ง

ดังนั้นเพื่อให้นับพื้นที่ตรงนั้นครั้งเดียว, คุณต้องลบ

พื้นที่นั่นจากผลรวม

ดังนั้นถ้าพื้นที่นี้, ถ้านี่คือ, ถ้าพื้นที่นี้คือ A, พื้นที่นี้คือ B

และอินเตอร์เซกชัน, โดยส่วนทับกันคือ C

พื้นที่รวมจะเท่ากับ A บวก B ลบพื้นที่ซ้อนทับ

คือลบ C

มันก็เหมือนกับตรงนี้

เรากำลังนับแจ็คทั้งหมด รวมทั้งแจ็คโพธิ์แดง

เรานับโพธิ์แดงทั้งหมด รวมทั้งแจ็คโพธิ์แดง

เราได้นับแจ็คโพธิ์แดงไปสองครั้งล เราจึงต้องลบออกอันหนึ่ง

มันจึงเท่ากับ 4 บวก 13 ลบ 1

หรือนี่จะเท่ากับ 16/52 แล้วทั้งคู่ก็หารด้วย

4 ลงตัว

นี่จึงเท่ากับ

ถ้าผมหาร 16 ด้วย 4 คุณจะได้ 4, 52 หารด้วย 4

ได้ 13

ดังนั้นนี่คือ, โอกาส 4/13 ที่คุณจะได้แจ็คหรือโพธิ์แดง