Kvadratkomplettering

Khan Academy's video on completing the square.

Välkommen till videon om hur man löser kvadratiska ekvationer

Vad är att slutföra kvadraten?

Tja, det är ett sätt att lösa andragradsekvationer.

Och faktiskt, låt mig bara skriva ner en andragradsekvation, och

sedan kommer jag visa er hur du genomför kvadratkomplettering

Och sedan ska vi göra ett annat exempel och sedan kanske tala

lite lite om varför det kallas för kvadratkomplettering

Så låt oss säga har denna ekvation: x^2 plus 16 x

minus 57 är lika med 0.

Så vilka verktyg har vi för att lösa ett

sådant här problem?

Vi kan försöka faktorisera ut ett svar,

Vi skulle kunna säga, vilka två summeras ihop till 16 och när du

multiplicera dem så blir det -57?

Och skulle du behöva tänka och testa lite.

Och du kan få hela tal, men du är inte ens

säker om det finns 2 heltal som ger dig en

enkel och korrekt lösning

I detta fallet finns det dock heltal.

Ibland lösningen är ett decimalt tal

och du känner inte till det

Så är den enda gång som du verkligen kan faktorisera om du är säker att

du kunde faktorisera ut detta i form av heltalsuttryck.

Ni vet, x plus vissa heltal eller x minus vissa heltal

gånger, du vet, x plus några andra heltal.

Eller liknande

Det andra alternativet är att göra en andragradsekvation.

Och vad vi ska se är faktiskt andragradsekvation

är bara i huvudsak en genväg för kvadratkomplettering.

Andragradsekvation bevisas faktiskt genom

kvadratkomplettering

Så vad är kvadratkomplettering?

Hur gör man?

Nåväl, innan vi går vidare låt oss se vad som händer

om jag kvadrerar ett uttryck.

Låt mig göra det här nere i hörnet

Vad är (x plus a), i kvadrat?

Ja, det är lika med x^2 + 2ax + a^2.

Rätt?

Så om du ser någonsin något på denna form vet du att det har

x plus något i kvadrat.

Så vore det inte snyggt vi kan manipulera denna ekvation

så vi kan skriva det som (x + a) ^2 är lika med något,

och då kan vi bara ta kvadratroten ur hela uttrycket?

Och vad vi ska göra är faktiskt att göra just detta.

Vilket är att genomföra kvadratkomplettering

Så låt mig visa ett exempel.

Jag tror att ett exempel kommer att göra det lite tydligare.

Låt mig ruta in det här.

Detta är vad du behöver komma ihåg.

Detta är hela logiken bakom kvadratkomplettering

att få en ekvation i denna form, på ena sidan av lika med

och bara ha ett tal kvar på andra sidan, så

man kan ta kvadratroten ur båda sidor.

Så låt oss se.

Först av allt, låt oss bara kontrollera att detta inte är

en perfekt kvadrat.

Om detta skulle, skulle denna koefficient motsvara 2a.

Eller hur?

Så a skulle vara 8, och detta skulle sedan vara 64.

Detta är uppenbarligen inte 64, så det här inte är

ett kvadratiskt uttryck

Så hur kan vi göra?

Vi börjar med att eliminera 57 genom att lägga till 57 på

båda sidorna av ekvationen

Så vi får x^2 + 16x = 57

Allt jag gjorde var att lägga till 57 på båda sidor

Vad kan jag nu lägga till här i uttrycket så att

vänstersidan av uttrycket blir en kvadrat av något uttryck

liknande x+a

Om vi följer lösningen här nere så har vi x^2

+ 2ax , så vi kan se det här som 2ax

eller hur?

Det är 2ax.

Och då behöver vi bara lägga till a i kvadrat

Eller hur

plus a i kvadrat

Och då har vi den på samma form som här nere

Men vi vet från grundläggande algebra att

allt man gör på ena sidan måste man även göra på andra

Så om jag la till a i kvadrat på ena sidan, får vi

lägga till en a i kvadrat på denna sidan med

Och nu kan man enkelt skriva om detta som en kvadrat

av ett uttryck

Men innan vi gör det måste vi lösa ut a.

Och tja, hur gör vi det?

Vad är a?

Om det här uttrycket är 2ax, vad är a?

2*a blir samma sak som 16, så a blir 8

Och det kan man vanligtvis göra genom att titta på den

och räkna i huvuvdet.

Men om du vill se det algebraiskt

faktiskt skriva 2ax lika med 16x

Och sedan dela båda sidor med 2 och du får

16 genom 2

och vi kan anta att x inte är 0, då blir detta 8

så a är 8

så om a är 8, kan vi skriva om det här uttrycket - skall byta färg

- som x i kvadrat plus 16x

plus a i kvadrat

och här får vi 64 då a är 8

som är lika med 57 + 64

Eller hur?

Det kanske blev lite rörigt här, men allt vi gjort

är egentligen att lägga till 57 på båda sidor

av ekvationen för att försöka få ut ett enkelt tar på höger sida

och sedan la vi till 64 på båda sidor av ekvationen

och varför la jag till 64 på båda sidor av ekvationen?

Så att vänster sida blir på denna formen

Och med uttrycket på den här formen

Kan jag skriva om det som vadå?

(x + a) i kvadrat

och kan skriva om det såhär

och eftersom vi nu vet att a är 8, så att detta blir (x+8) i kvadrat

är lika med, och vad är 57+64

det är 121

Nu har vi något som ser väldigt enkelt ut

det är fortfarande en kvadratisk ekvation, för att

om du utvecklar denna sidan får du en kvadrat.

men vi kan det här utan att använda kvadratiska ekvationer

och utan att faktorisera

Vi kan helt enkelt ta roten ur båda sidor av det här

Och om vi tar kvadratroten ur på båda sidor, vad får vi?

vi får , - skall bara byta färg -

att (x + 8) är lika med, och kom ihåg! att det är både

plus och minus roten ur 121

Och vad är roten ur 121?

Tja, 11 eller hur?

Och vi flyttar oss lite hit

Låt mig markera undan det här

Det var bara en notis

Så vi får x + 8 = plus eller minus 11

så x är lika med, ta bort 8 från båda sidor

8 plus eller minus 11

så x kan vara, minus 8 plus 11 är lika med 3

eller hur?

Låt oss försäkra oss om att jag gjordet det där rätt

x är lika med -8 plus eller minus 11

Jupp

Stämmer,

Så x kan vara 3

Och om jag sedan tar minus 8 minus 11,

kan x även vara minus 19

Tjoho

Låt oss kolla om detta verkar vettigt

Så i teori kan vi faktorisera ut detta som x

minus 3 gånger x plus 19 lika med 0

Eller?

För det finns 2 lösningar på denna kvadratekvation

Och det stämmer?

minus 3 gånger 19 är minus 57

och minus 3 plus 19 är plus 16

Vi kunde rentav faktoriserat uut det här direkt, men om

det inte är uppenbart, för åtminstonde är

19 ett lite konstigt tal. Vi kan göra det

genom kvadratkomplettering

Men varför kallas det kvadratkomplettering?

För att vi får det på denna form och måste lägga till det här

64 här är till för att komplettera kvadraten för att vända det här

vänsterledet till ett kvadratuttryck

Låt oss göra en till snabbt

Och jag förklarar lite mindre och ni hänger bara med

detta exempel kan verka lättare

men det kan bli lite knivigare

så, låt säga att jag har 6x i kvadrat minus 7x minus 3 lika med 0

vi kan försöka faktorisera ut det, men personligen skulle jag inte

njuta av faktorisering när jag har en koefficient

Och man kan säga, tja, varför inte dela båda sidor

av ekvationen med 6?

Men då får vi ett bråk här och ett bråk här

Och det är värre att reda ut bara genom att titta på det

Man kan göra kvadratiskt uttryck

Och kanske i framtiden kommer en video där

det visas, och jag kanske redan gjort en video

där jag bevisar kvadratiska ekvationen

men kvadratiska ekvationen är huvudsakligen

kvadratkomplettering

Det är en genväg

bara ytterligare ett sätt att komma ihåg formeln

men låt oss kvadratkomplettera här, för det är

poängen med videon

så vi lägger till 3 på båda sidor av ekvationen

vi kan, - låt oss lägga till 3 först

så du får 6x i kvadrat minus 7x lika med 3

jag la till 3 på båda sidor

och vissa lärare vill lämna kvar minus 3 här

för att bara lägga till nya tal.

men jag gillar att få bort det

så jag enklare ser vilket tal som blir rätt här

men jag gillar inte heller den här 6an

som bara försvårar vad jag försöker göra

jag vill ha den (x+a) i kvadrat inte någon kvadratrot

koefficient av x-termen

så låt oss dela båda sidor med 6 och vi får

x i kvadrat minus 7 genom 6 x lika med 3 genom 6

är lika med 1 genom 2

Och vi kan gjort det som vårat första steg

Vi kunde helt enkelt delat här med 6 från början

hursomhelst, nu skall vi försöka avsluta kvadraten

så vi har x i kvadrat, jag skall bara rengöra lite yta

minus 7 genom 6 x plus något kommer bli lika med 1 genom 2

och vi vill lägga till något här som

gör uttrycket till ett kvadratiskt uttryck

så hur gör vi det?

vi tittar i huvudsak på denna koefficienten och behåller

i tanken att det inte bara är 7 genom 6, utan minus 7 genom 6

så vi tar bort 1/2 ur den och kvadrerar

eller hur?

nu gör jag det.

x plus a, i kvadrat är lika med x i kvadrat, plus

2ax + a i kvadrat

eller hur?

Det är vad du skall komma ihåg i alla lägen!

Detta är grunen i kvadratkompletteringen

så vad sa jag precis?

tja, denna termen kommer bli 1 genom 2 av denna

koefficienten i kvadrat

Och hur vet vi det?

För att a kommer bli hälften av denna koefficienten om du bara

gör lite mönstermatchning

så vad är hälften av det här?

1 genom 2 minus 7 genom 6 är 7 genom 12

så om du vill skriva a lika med

minus 7 genom 12 för vårat exempels skull

och jag multiplicerade bara det här med 1 genom 2

eller hur?

så vad kan jag lägga till på båda sidor?

och lägger till en kvadrat

så vad är 7 genom 12 i kvadrat?

Ja, det kommer att bli 49/144.

Om jag gjorde det till den vänstra sidan måste jag

göra det även på den högra sidan.

Plus 49/144.

Och nu hur kan jag förenkla vänstersidan?

Vad är vårt nästa steg?

Nu vet vi om det är en perfekt kvadrat.

I själva verket vet vi vad a är. a är minus 7/12.

Och så vet vi att vänstra sida av ekvationen

är x minus a-- eller x plus a, men a är ett negativt tal.

Så x plus a, och a är negativt, kvadraten.

Och om du vill du kan multiplicera detta och bekräfta

att det är verkligen är det här.

Och det kommer att vara lika med--Låt oss få en gemensam

nämnare, 144.

72 plus 49 är lika med 121.

121/144.

Så vi har x minus 7/12, allt detta kvadrat

är lika med 121/144.

Så vad gör vi nu?

Nåväl vi tar bara kvadratroten ur båda

sidorna av denna ekvation.

Och jag försöker att frigöra lite utrymme.

Växla till grönt.

Låt mig avgränsa detta.

Och vi får x minus 7/12 är lika med plus eller minus

kvadratroten av.

Så plus eller minus 11/12.

Rätt?

Kvadratroten ur 121 är 11.

Kvadratroten av 144 är 12.

Så då kan vi lägga till 7/12 till båda sidor av ekvationen,

och vi får x uppgår till 7/12 plus eller minus 11/12.

Ja, det är lika med 7 plus eller minus 11/12.

Vilka är de två alternativen?

7 + 11 blir 18 genom 12.

Så x kunde lika 18/12 förenklat 3/2.

Eller vad är 7 - 11?

Det är minus 4/12.

Så det är minus 1/3.

Där är svaret

och så genomför man kvadratkomplettering.

Hoppas du förstår vad vi gjort och kommit till insikt.

Och om du vill visa andragradsekvation, allt du

behöver göra är i stället för att ha tal här, Skriv a x i kvadrat

plus bx plus c är lika med 0.

Och sedan slutföra fyrkantiga med de a, b och c's

i stället för siffror.

Och du kommer att få ett kvadratiskt uttryck

såhär långt in

Och jag tror att jag gjort det i en video.

Hör av er om jag inte gjort det så skall jag göra en video

Hur som helst, syns igen i nästa video!

Och vi kunde har gjort att vårt första steg.