Using Trig Functions

Using Trigonometric functions to solve the sides of a right triangle

-

Trigonometrik fonksiyonların neden yararlı olduklarını göstermek için birkaç örnek çözeceğiz.

-

Hemen bir soruyla işe koyulalım.

Bu dik üçgeni düşünelim.

-

Bu benim dik üçgenim.

-

Dik açısı hemen şurada.

Bu açının ölçüsünün pi/ 4 radyan olduğunu biliyorum

-

Kısaltma olarak sadece rad yazıyorum.

Bu açının ölçüsü pi/ 4 radyan oluyor.

Aynı zamanda şu kenarın ölçüsün 10 kök 2 olduğunu biliyorum.

-

Yani üçgenin bu kenarının değerini de biliyorum.

Şu açının pi/4 radyan olduğunu biliyorum.

Ve asıl soru diğer kenarının değerinin ne olduğu.

Altını çizerek göstereceğim.

Turuncuyla göstereyim.

-

İlk önce ne bildiğimizi ve ne öğrenmemiz gerektiğini bir anlayalım.

-

Elimizdeki bir açının pi/ 4 radyan olduğunu biliyoruz.

Ve aslında bu değeri dereceye çevirirsek 45 dereceye denk geliyor.

-

Peki bu üçgnenin hangi kenarı oluyor?

Bu üçgenin hipotenus kenarı oluyor.

Peki ne bulmaya çalışıyoruz?

Hipotenüsü mü bulmaya çalışıyoruz? Açının yanındaki kenarı mı? Yoksa açının karşısındaki kenarı mı?

-

Bunun hipotenus olduğunu zaten biliyoruz.

Burası karşı kenar oluyor.

-

Burası karşı kenar oluyor.

Ve sarıyla gösterilmiş kenar da komşu kenar oluyor değil mi?

Şu açıya komşu oluyor.

Yani Açıyı biliyoruz, hipotenüsü biliyoruz ve komşu kenarı bulmaya çalışıyoruz.

-

Size bir soru sorayim?

Hangi trigonometric fonksiyon komşu kenar ve hipotenüsü kullanıyor?

-

Komşu kenarı bulmak istiyoruz ve hipotenüsü biliyoruz.

-

Hemen hatırlatıcımızı yazalım eğer unutursanız diye.

-

SOHCAHTOA

-

Peki hangisi komşu kenarı ve hipotenüsü kullanıyor?

-

CAH kullanıyor.

Peki CAH'taki c neyi temsil ediyor?

c kosinüsü temsil ediyorç

Herhangi bir açının kosinüsü komşu açı bölü hipotenüse eşittir.

-

O zaman bu bilgiyi turuncu veya sarı kenarı çözmek için kullanalım.

-

pi/4 radyanın kosinüsünün şuraki komşu kenara eşit olması gerektiğini biliyoruz.

-

-

Şuraya komşu kenar için a harfini koyalım.

Komşu kenar bölü hipotenüs.

Hipotenüs şuradaki kenar oluyor.

Soruda hiptenüsün 10 kök 2 olduğu verilmiş.

-

-

O zaman a'yı bu denklemin iki tarafını da 10 kök ikiyle çarparak bulabiliriz.

-

-

O zaman 10 kök 2'yi çarparsak

Şunlar birbirini götürüyor.

Burada 20 kök 2 kalıyor.

Ve elimizde a eşittir 10 kök 2 kere pi/4'ün kosinüsü kalmış oluyor.

-

Herhalde şu an kafanız çok karışmış olmalı ve pi/4'ün kosinüsünün ne kadar büyüklükte olduğunu bilmiyorusunuzdur.

-

Peki ne yapalım o zaman?

Kimsenin trigonometrik fonksiyonların değerlini ezberlememiştir zaten.

.-

Bunu çözmenin birkaç yolu var.

Ya size pi/4'ün kosinüsünün değerini veririm.

Ki bu bilgi bazen soruda verilir.

Ya da siz hesap makinenizin radyanlara ayarlarsınız ve pi/4'ühesaplarsınız.

Elinize de aşağı yıkarı 0.79 gibi bir değer gelmesi gerekiyor.

Sonra da kosinüs düğmesine basın.

Ve elinize bir değer gelecek.

-

Ya da bazı trigonometrik tablordan pi/4'ün kaça denk geldiğini bakabilirsiniz.

-

-

Şu anda elimde bu imkanlardan hiçbiri olmadığı için size pi/4 için bir değer vereceğim.

-

pi/4'ün kosinüsü 2 kök 2 oluyor.

Yani a (komşu kenar) 10 kök 2 kere kök 2 bölü 2'ye eşit oluyor.

*

kök 2 bölü 2'yi bulmak biraz kafanızı karıştırabilir.

-

Şu an bunu nasıl yaptın diyorsunuzdur herhalde

Tek söylediğim şeyi pi/4' ün kosinüsünün kök 2 bölü 2'ye eşit olduğuydu.

-

-

-

Bu insanların ezberlediği bir şey değil.

Bu ya soruda verilen bir şey olur, ya bir yerden bakarsınız ya da hesap makinesi kullanarak çözersiniz.

-

Ve tabiki hesap makinesi size kök 2 bölü 2'yi vermez

-

Size kök2 bölü 2 olmayan noktalı bir sayı verirdi.

-

Neyse ben size zaten pi/4'ün kosinüsünün kök 2 bölü 2 olduğunu söyledim.

-

Peki çarparsak, kök 2 bölü 2 ne olur?

kök 2 çarpı kök 2 kaç eder?

2 eder.

Eğer bu 2 ise diğer 2'iyi de götürür.

Ve on dışında her şey birbirini götürmüş olur.

Yani komşu kenar 10'a eşit oluyor.

-

Bir tane daha çözelim.

-

Şunları sileyim.

-

Bana bir saniyecik verin.

Şu an yaptığımız mödül soruları rastgele kafamdan vermediğim ender modüllerden biri.

Çünkü soruyu çözmek için trigonometrik değerleri önceden bilmem gerekiyor.

-

-

Elimde bir tane daha dik üçgen var diyelim.

Belki de önceki üçgeni silmesem daha iyi olacaktı.

Herneyse, şuradaki benim dik üçgenim.

-

-

Yani bu benim dik üçgenim.

Ve şuradaki açının 0.54 radyan olduğunu biliyorum.

-

Ve aynı zamanda şuraki kenarın 3 birim uzunluğunda olduğunu biliyorum.

Ve bu kenarı bulmak istiyorum.

Peki soru hakkında ne biliyoru?

Bu kenarın bu açıyla bağlantısı ne oluyor?

Açının karşı kenarı oluyor.

Çünkü açı hemen burada ve açının karşısında kenarımız var.

Yani bu karşı kenar oluyor.

Peki bu kenar nedir?

Komşu kenar mu yoksa hipotenüs mü?

Bu benim hiptenüsüm.

Dik açının karşısında ve uzun olduğu için.

O zaman burası da komşu kenar oluyor.

Peki hangi trigonometrik fonksiyon karşı kenarı ve komşu kenarı kullanıyor.

Şuraya tekrar SOHCAHTOA yazalım.

SOHCAHTOA

-

TOA karşı ve komşu kenarı kullanıyor.

OA

-

T'de tanjantı temsil ediyor.

TOA

Yani tanjant, karşı kenar bölü komşu kenara eşit.

O zaman bu formülü kullanalım.

0.54 radyanın tanjantını alalım.

Yani 0.54'ün tanjantı karşısındaki kenara eşit olacak değil mi.

3 oluyor o zaman değil mi?

Yani karşı kenarın değer 3.

Hemen komşu kenarın üstünde.

Yine bu soruda da bilmediğimiz değer komşu kenar.

O zaman yine soruyu a değeri için çözeceğiz.

Eğer iki tarafı da a ile çarparsak, 0.54'ün tanjantı 3'e eşit oluyor

-

Ya da a eşittir 3 bölü 0.54'ün tanjantı diyebiliriz.

Bu soruda da 0.54'ün tanjantını ezberlemedim fakat size ne olduğunu söyleyeceğim çünkü siz de bilmiyorsunuz.

-

-

Ya da bir hesap makinesi kullanarak bulabilirsiniz.

-

0.54'ün tanjantı 3/5'e eşit.

Bir doğrumu kontrol edeyim.

Evet doğru.

3/5 oluyor.

O zaman a eşittir 3 bölü 3/5.

-

Bir tekrarlamak istiyorum; nasıl 3/5'i elde ettim?

-

Çünkü size ben söyledim.

Ya da hesap makinesi kullanarak 0.54'ün tanjantının 3/5'e eşit olduğunu bulabilirsiniz.

-

Tabi ki uygun sayılar kullanıyorum ki kesirler birbirini götürsün.

-

Eğer kesirleri bölersek; paylarla çarpmak gibi bir şey

-

Tersiyle çarpmak gibi.

Yani çarpı 5/3

Yani komşu kenar 5 oluyor.

Bulduk işte.

Alın size :)

Herzaman ne yaptığımı bir düşünelim

Elimde hangi veriler olduğunu, hangi kenarları bildiğimi ve hangi kenarı bulmak istediğimi düşünüyorum.

-

Ve bu durumda da elimde karşı kenar vardı ve ben komşu keanarı bulmak istiyordum.

-

Ve düşündüm... Hangi trigonometrik fonksiyon bu iki kenarı içeriyor?

Karşı kenarı ve komşu kenarı

SOHCAHTOA'yı bir kenara yazdım.

Ve baktım, TOA içeriyor

O karşı kenarı, A ise komşu kenarı temsil ediyor.

Ve bu da tanjant oluyor.

Açının tanjantına baktım o zaman.

Ve sonra dedim ki açının tanjantı karşı kenar bölü komşu kenara eşit..

-

Hemen şurada gösterdiğim gibi.

Ve sonra denklemi komşu kenar için çözdüm.

Ve tabi ki soruda size 0.54 değerini ben verdim. Ya da hesap makinesi kullanılabilirdi.

-

Gelecek modülde bu sorulardan birkaç tane daha çözmeyi düşünüyorum fakat bu sunum için daha fazla vaktim kalmadı.

-

Esenlikler diliyorum

Aksel Kohen