Introdução a auto-valores e auto-vetores

RKA1- Olá, pessoal, prontos para mais um vídeo?

Para toda transformação que associa o rn

no próprio rn,

a gente tem feito de forma implícita.

Mas tem sido bem importante para a gente encontrar

vetores que quando eu aplicava transformação,

resultado era apenas um múltiplo desse vetor que foi aplicado.

Ou seja, vetores que quando eu aplico a a transformação,

o resultado é simplesmente um múltiplo desse meu vetor.

Se para você está meio obscuro,

você não lembra de a gente ter falado nada disso,

vou tentar refrescar sua memória um pouco.

Para isso, vou começar a desenhar

aqui o nosso r2.

o que eu vou fazer aqui alguma

transformação do r29 dois pra nos ajudar

e agora para ajudar vou fazer um vetor

zin

aqui está o nosso vetor zinho v

digamos que esse vetor zinho ver que ao

vetor 12

além disso nós temos a reta que esse

vetor zinho gero vamos chamar essa é

tinha aqui de reta r e agora vamos criar

aqui uma transformação linear que

reflete vetores em torno dessa linha

reta então ter esse uma transformação do

r2 do r2 que reflete ela reflete vetores

os vetores ao redor ao redor de r

quem bom já que está aqui numa missão de

refrescar a memória que seria uma

reflexão ao redor da reta é digamos que

eu tenho um vetor zinho xis aqui

refletiu ao redor dessa reta ela vai

servir como se fosse um espelho então a

imagem vai ficar aqui mais ou menos um

reflexo desse meu ver torches aqui está

o nosso tx

não sei se você se lembra quando a gente

pegou essa transformação zinho aqui como

exemplo é uma das coisas que a gente fez

foi escolher uma base

essa transformação que não era muito

alterada por ela né

quando a gente aplicava transformação

zinho na base

o máximo que ela fazia era multiplicar

os vetores da base para 1 escalar por

exemplo pessoal este atorzinho ver vou

chamá lo de ver um

quando eu pego a transformação da

diretora transformação aplicada no meu

ver tudinho v1 o que vai acontecer com

eles eu refleti ele sendo que ele já

está na reta ele vai continuar igual

então a transformação aplicada em ver um

é ser justamente o meu vetor ver um ou

então dá pra falar o seguinte s

eu aplicar transformação em ver um o que

eu vou obter é simplesmente uma vez o

meu ver um possa tentar colocar nesses

parâmetros aqui ó

o que eu acabei de mostrar para você né

a transformação no caso é a reflexão e o

lambda no nosso caso aqui holanda igual

a um significa que o que aconteceu

depois da transformação aqmi o vetor

zinho foi x 1 vamos pegar aqui um outro

vetor zinho de exemplo digamos que eu

pegue aqui o vetor zinho que esse vetor

v2 e esse meu ver dois é o vetor zinho 2

- 1

quando eu aplico a transformação nesse

meu ver dois o que vai acontecer e só

vai mudar a direção porque porque ele é

ortogonal a essa minha reta r certo aqui

tá td e 2 ou seja se eu pegar e aplicar

uma transformação em v2 o que vai

acontecer o que vai vir bastante pra mim

vai ser - o v dores ou então também

posso dizer aqui a transformação

aplicado em v2 é ser simplesmente - 1

vezes o vetor zinho v2

o interessante desses vetores vizinhos

aqui é que se eu estiver trabalhando com

essa transformação e usá los como base

do meu sistema de coordenadas vai ficar

muito muito fácil a gente achar a matriz

que vai representar a minha

transformação o que também vai facilitar

as continhas

acho que a gente vai operar daí pra

frente bom a gente vai se aprofundar

nisso um pouco mais pra frente mas eu

espero que você tenha percebido o tanto

que esses vetores são especiais

ou então o pessoal a gente pode pegar o

caso que eu tenho aqui um plano né

aqui um plano zinho qualquer digamos

esse plano é gerado por esses dois

vetores vizinhos em vermelho e aqui eu

tenho um vetor zinho verde que sai desse

plano é que vem aqui pra cima

agora eu pego como exemplo a

transformação que usa esse plano como um

espelho é todo mundo é refletido a redor

desse plano e quando eu faço a

transformação dos vetores vermelhos eles

não mudam nada e fazer a transformação

desse vetor zinho verde ele simplesmente

vira de cabeça para baixo

aí você vai pensar bom parece que esses

três setores vizinhos são uma boa base

para essa transformação e de fato eles

são tão basicamente o que a gente tá

interessado que a gente está procurando

são vetores que quando a gente aplica

transformação a única coisa que acontece

eles serem multiplicadas por um número

espero que você tenha percebido que não

são com todos os vetores que esse tipo

de comportamento acontece por exemplo

olha esse vetor zinha que o vetor zero x

que em dezembro quando a gente aplicou

transformação nele né

digamos que a reta que ele gera muda

completamente ó diferente desse aqui ó

quando eu apliquei a transformação a

reta que eu gerei foi a mesma

então basicamente que a gente está

procurando os vetores que quando a gente

aplica transformação o resultado é só

uma versão x 1 escalar é que digamos é a

transformação do meu x esse aqui é o

vetor de x né

ou seja a reta que o setor gera tem que

ser a mesma reta que a imagem desse

vetor vai gerar olha só bom e quando

esse tipo de coisa acontece pessoal

esses vetores vinhos até tem um nome né

espero que eu esteja enfatizando o

suficiente a importância desses caras

porque eles são de fato muito úteis não

é só uma perfumaria matemática que a

gente está fazendo aqui

eles são úteis porque eles facilitam

encontrar as matrizes que representam as

transformações

eles são um conjunto de bases mais

natural para um sistema de coordenadas

e na grande maioria das vezes né

matrizes

usando esses carinhos como sistema de

coordenadas são muito mais fácil de

operar de calcular ou então vamos ao

nome especial que esses vetores vizinhos

têm qualquer qualquer vetor zinho que

satisfaça essa propriedade aqui ó ele é

chamado de auto vetor da transformação

da transformação pt já esse lambda quiné

o número pelo qual o setor foi

multiplicado

ele é chamado de alto valor associado do

associado e não associado a quem é

associado ao alto vetor

então pessoal voltando aqui essa

transformação aqui que a reflexão nesse

nosso caso o vetor zinho 12 é alto

o setor é um outro vetor da nossa

transformação e um é esse um vizinho

aqui é o alto valor associado do mesmo

modo esse vetor zinho 2 - 1 neoview e 2

também é um auto vetor e no caso de se

ver dois né o menos um é o alto valor

associado alto

bom essa transformação aí essa

transformação representada como um

produto de uma matriz por um vetor

afinal é uma transformação de nela pode

ser apresentada assim então qualquer ver

que satisfaça a condição de que a

transformação aplicado em ver resulta

num lambda ver que obviamente também

pode ser representado por à vezes ver

esses setores também são chamados de

auto vetores da matriz a afinal a é a

matriz que representa a transformação

novamente é que esse aqui é o alto vetor

de a

é o alto valor associado ao alto vetor

ou seja se você me der uma matriz que

representa uma transformação linear

eu posso descobrir quem são os altos

valores e o salto vetores associados e

inclusive nos próximos vídeo a gente vai

calcular esses carinhas né mas o que eu

quero que você perceba quero que você dá

importância no vídeo de agora no vídeo

de hoje é nas propriedades desses tais

alto vetores simplesmente eles não são

muito alterado pela transformação o

máximo que vai acontecer é ele ser x 1

escalar é ou seja é ficar o maior um

pouquinho menor mas há a linha na reta

que esse cara gera não vai mudar quando

eu aplico a transformação nele por isso

uma das grande utilidade é que eles

formam uma ótima base por nosso sistema

o que vai fazer com que a nossa matriz

transformação seja mais fácil de

encontrar inclusive mais fácil de operar

ok espero que vocês tenham gostado e até

o próximo vídeo tchau tchau