Example solving for slope of a secant line

Секуща пресича кривата

y = ln(x) (натурален логаритъм)

в две точки

с x координати 2 и 2 + h.

Какъв е наклонът на секущата?

Добре, дават ни две точки от правата.

Може да не е видно веднага, но ни дават

точките, когато x = 2.

Когато x = 2, колко е y?

Казват ни, че y = ln(x),

така че в такъв случай ще бъде ln(2).

A когато x e равно

на 2 + h,

колко е y?

y винаги ще бъде натурален логаритъм

от това, което е x.

Следователно ще бъде
натурален логаритъм от (2 + h).

И така, това са две точки,
които лежат на секущата.

Това се случва там, където
секущата пресича

нашата крива. Но това са
две точки от правата,

а ако знаеш две точки от една права,

ще можеш да намериш
какъв е наклонът на тази права.

Сега можем да си припомним,

че наклонът е просто ∆y/∆x
(изменение по y върху изменение по x).

А на колко ще бъде равно това?

Ако разглеждам втората точка
като крайна такава,

то ∆y ще бъде от ln(2) до ln(2 + h).

Следователно изменението по y
ще бъде нашата крайна точка или

ln(2 + h) минус началната точка,

т.е. крайната стойност за y
минус началната стойност за y,

т.е. ln(2).

Тогава ∆x,

изменението по x, ще бъде равно
на крайната стойност за x

(2 + h) минус началната стойност
за x, т.е. минус 2.

Тези двете разбира се,
се съкращават, и ако погледнем тук

изглежда, че имаме възможност,
която директно отговаря

на това, което току-що записахме.

Ето това тук,

ln(2 + h)

минус ln(2) върху h.

Ако искаш да визуализираш това по-добре,

може да направим чертеж,
така че ще изчистя това,

за да имам място да направя графиката.

Само, за да може наистина
да видиш, че това е секуща.

Нека да начертая моята ос y,

и нека да начертая моята ос x.

И y = ln(x) ще изглежда...

нека да подчертая това:

ще изглежда като нещо такова.

Чертая го на ръка,

така че няма да стане
перфектно ето тук.

И когато имаме точката

(2; ln(2)),

която ще бъде, нека да кажем над,

ако това например е 2,

тогава това тук е ln(2),

следователно това е точката (2; ln(2)).

Тогава имаме още една точка, която
означихме абстрактно като (2 + h),

така че е 2 плюс нещо.

Нека да кажем, че това е (2 + h),

а това ще бъде точката,

която лежи на графиката.

Тоест това ще бъде ((2 + h); ln(2 + h)),

а упражнението, което току-що
направихме, е намиране

наклона на правата, която
свързва тези две точки.

Следователно правата
ще изглежда като нещо такова

и начина, по който направихме това, е

като се запитахме: "Добре,
какво е изменението за y?".

И така, изменението за y...
нека да видим. Ние се движим

от y = ln(2)

до y = ln(2 + h).

Следователно изменението за y,

т.е. нашето ∆y,

e ln(2 + h) минус ln(2).

Минус ln(2). А колко е
нашето изменение за x?

Движим се от 2 до (2 + h).

Тръгваме от 2 до (2 + h), така че
нашата промяна за x,

e просто нарастването h.

Тръгваме от 2 и стигаме до (2 + h),

така че ∆x = h.

Наклонът на секущата,

която пресича нашата графика
в две точки,

ще бъде ∆y/∆x,

което още веднъж е точно това,
което имаме тук.