Partial fraction decomposition to find sum of telescoping series

우리가 오늘 하려는 것은

바로 이 값을 알아내는 것인데요

-2 / (n+1)(n+2) 의

n=2 부터

무한대 까지의 합을 구하는 겁니다

이것은 n=2 로 시작합니다

그래서 n=2일때
이 -2가 그대로 -2이고

1을 더한 3과 2+2를 한 4를 곱하는 것이 되요

그렇다면, n=3일때 이 -2는

1을 더한 4와 3+2를 한 5를 곱한 것이 됩니다

그리고 계속 그렇게 해 나가면,

-2분의 5곱하기6이 되죠

그리고 계속 그렇게 해 나가세요

그러면, 각각의 연속되는 항들이

점점 더 작아지고 있다는 것이 확실히 보이죠

그리고 이 값은 꽤 빨리 작아져요

그렇기 때문에 무한하게

값을 더한다고 해도

유한한 값이 나온다고 할 수 있습니다

그러나 제가 하고 있는 이것은

적어도 어떻게 이 합이 무엇일지

그리고 어떻게 실제로 이 합을
계산하는지에 관해서는

제가 갑자기 떠올린 것은 아닙니다

그러니 지금 영상을 멈추고 생각해 보세요

제가 이 값을 알아낸는 과정에
대한 힌트를 드리겠습니다

이 표현을 두 부분의 합으로 변환하기 위해

부분 분수 전개나 부분 분수 분해에 대한

기억을 한 번 떠올려 보세요

그것이 우리가 이 합이 무엇인지를
알아내는 데에 도움을 줄 것 입니다

제가 생각할 시간을 줬다고 가정하고

이제 이 것을 다르게 나타내 봅시다

이 값은 두 부분의 합으로 나타날 수 있습니다

그래서 이 -2는

다른 두 색을 사용해서 나타내 보죠

(n+1) 곱하기 (n+2)

이미 부분분수 전개 에서 이 값을

두 부분의 합으로 나타낼수 있다는 것을 배웠어요

A/(n+1) + B/(n+2)

왜 이렇게 될까요?

만약 두 값을 더한다고 할때

공통분모를 찾아야 하죠

그것은 이 분모들의 배수가 될 것이고요

이것은 확실히 이 분모들의 배수입니다

그리고 부분 분수 분해에서

분자에 어떤 값이 있던지 간에

이 분자 값이 이 분모 값 보다 작기 때문에

이 분자들에 어떤 값이 있던지 상관 없이
분모 값보다 작은 값이 됩니다

그래서 이것이 n에 관한 1차항이기 때문에

이것들은 상수항이 될 것입니다

그럼 A와 B의 값을 구해봅시다

그래서 합을 구하면

같은 공통 분모로

이것들을 다시 써볼게요

A/(n+1)을 다시 쓰는데

분자에 분모 (n+2)를 곱합시다

분자에 (n+2)를 곱하고 분모에도 (n+2)를 곱하면

처음 분수와 값은 바뀌지 않았죠

같은 방법으로 B도 해보면 (n+2)분에

분자와 분모에 (n+1)을 곱해줘요

(n+1) 분에 (n+1)

여기서도 이 분수값은 변하지 않았어요

이렇게 함으로써
공통분모를 갖게 되었네요

이 값은 (n+1)(n+2) 가 분모이고

분자는 전개해보죠

A를 분배하면

An+2A

여기 An+2A을 쓰고

B도 분배하면 Bn+B 입니다

여기에 다시 써볼게요

그래서 모든 n항들을 갖게 되었어요

예를 들어, An+Bn에서 n을 뽑아내면

이것을 (A+B)곱하기 n이라고 쓸 수 있죠

여기 있는 두 항 말이에요

그리고 2A+B

여기에 2A+B로 쓸 수 있죠

이 모든 항은 (n+1)(n+2)의 분자가 되요

그럼 A와 B의 값은 어떻게 해결해야 할까요?

여기서 주목해야 할 것은

이 값이 반드시 -2와 같아야 한다느 것이죠

이 두 값은 서로 같아야만 해요

우리가 이 값은 이 값과 같고,

이 값과도 같다는 것을 증명하고
있다는 것을 잊지 마세요

그것이 우리가 이 모든 것을 한 목적이죠

이 두 값들이

서로 같다는 것을 보여주는 것이에요

이 것을 보여주는 거죠

그래서 분자의 모든 값의 합은
-2와 같아야 해요

그걸 어떻게 풀 수 있을까요?

여기 우리가 모르는 값이 두개 있어요

모르는 두 값을 알아내기 위해
두개의 방정식이 필요해요

여기서 주목할 것은

이 좌변에는 n항이 있어요

여긴 n항이 없죠

그러니 말 그대로, 이 식을

그저 -2로 말고도

(-2)+0n+0n으로 볼 수 있어요

ON이 아니구요

이건 0입니다
이렇게 쓸게요

그래서, 이 식을 이렇게 본다면

A+B가 n의 계수이죠

이것은 반드시 0이어야 합니다

A+B는 반드시 0이에요

이건 다소 쉬운

부분분수의 전개에요

필요하다면 그것에 관한 영상도
있으니 참고하시구요

그럼 계속해서,
2A+B= ㅡ2

모르는 두 항에 대한
두 개의 방정식을 갖게 되었어요

이건 여러가지 방법으로 풀 수 있지만

위의 방정식에 ㅡ1을 곱해볼게요

그럼 이 식은 ㅡA+ㅡB=0이 되요

ㅡ1곱하기 0은 여전히 0이니까요

이제 두 값을 한데 쓸 수 있어요

그럼 2A-A인 A와 B-B인 0가 남아요

두 값은 서로 상쇄돼니까요

이것은 -2와 같죠

A= ㅡ2 이면
A+B=0이므로

B는 반드시 2가 되죠

(-2)+2=0 입니다

A의 값을 구했으니
이 위에 대입해보죠

이제 이 모든 것을 여기 다시 쓸 수 있어요

이 값의 합은

약간 다르게 해볼게요

이것을 무한한 합계에 반대되는

유한한 합계로 써볼게요

그럼 무한대로 감에 따라 극한값을 얻을 수 있죠

이렇게 써볼게요

이것은 n=2에서 시작해서

무한대 대신에 대문자 N으로 쓸게요

무한대 까지의 합입니다

이것 대신에 이렇게 쓸게요

그래서 A=ㅡ2

이것은 2/(n+1)가 됩니다

그리고 B/(n+2)

제가 이것을 유한한 값으로 나타냈죠

나중에 N이 무한대에 가까워짐에 따라

극한값을 알아낼 수 있어요

오 아뇨, 이젠 B를 쓸 필요가 없죠

B=2이므로 이것은 2/(n+2)입니다

이제 어떤 방법으로 풀어야 할까요?

우리가 이미 했던 방법을 이용해 봅시다

이 값이 어떤 것과 같아야 하는지 써보죠

이것은 n=2일 때

-2/3 + 2/4와 같아요

다른 곳에 쓸게요

너무 빽빽해서

이것은 n=2일때죠

그럼 n=3일때는 어떻게 될까요?

n=3이면 이 값은
2/4 + 2/5 이에요

그렇다면 n=4일때는요?

여러분이 조금씩 보이는 규칙을
찾았으리라 생각해요

하나 더 해볼게요

n=4 이면

이것은 -2/5 더하기

-2/5더하기 2/6입니다

계속 해볼게요

화면을 조금 내리고

N번째 항까지 이것을 계속해요

... + N 번째 항

N번째 항은

2/(N+2) 더하기 2/(N+2)

여기서 규칙을 발견할 수 있을 거에요

여기서 주목할 것은
n=2였을 때, 2/4라는 값을 얻었어요

n=3일때는 -2/4를 얻었고

이것은 이렇게 상쇄되죠

n=3일때 2/5를 얻었고

이것은 n=4일때의 -2/5와 상쇄되죠

그래서 각각의 항에서

두번째 항은

그 다음 항의 첫째 항과 상쇄되요

그리고 이것을 끝까지 해봅시다

n=N이 될 때까지요

그리고 이것은 계속해서 상쇄되겠죠

n=N 바로 전까지요

그리고 이제 남은 것은

이 항과 여기있는 이 항입니다

다시 써보죠

여기 공간이 좀 더 있네요

이것은 다시 쓰면 이 밑의 n=2 부터 N까지

-2/(n+1) 더하기

2/(n+2)의 합이 되요

가운데 값이 모두 상쇄 되었으니

-2/3 더하기

2/(N+2) 만 남아요

그래서 이것은 이 값의 엄청난
단순화를 거친 것입니다

그리고 우리가 처음에 계산하려 했던 값은

N이 무한하게 커지는 값이었다는 것을 기억하세요

그러면 이 N이 무한히 커지게 되죠

이걸 이렇게 써볼게요

그럼 사실, 이렇게 쓰면

이 극한값은

N 이 무한대로 감에 따라

나오는 값은 N이 무한대로 갈때의

이 값과 같죠

그게 우리가 알아내려는 값이구요

이건 -2/3 + 2/(N+2) 입니다

이제 n이 무한대로 가면서 이 -2/3은

영향을 전혀 받지 않았어요

그래서 여기 있는 2분의 매우의 큰 값,

무한히 큰 값인 이 항은

0이 되게 될거에요

그럼 우린 -2/3만 남았죠

그럼 끝난겁니다

우린 이 무한급수의 값을 알아내었어요

그러니 이것은 -2/3과 같죠

이런 종류의 급수를 망원급수라고 불러요

망원, 즉

망원급수요

망원 급수는 일반항이에요

이 부분을 본다면

이것들 각각은 위에서 보았던 규칙을 가지고

상쇄되게 되어요

그래서 고정된 숫자만 남게 되는거죠

마지막에 있는 항을 뜻하죠

뭐, 두 방법 모두 꽤 흥미있고

만족스러운 문제입니다

감사해요