Gli Integrali di Linea e i Campi Vettoriali

useremo gli integrali di linea per trovare il lavoro svolto da una particella che si muove attraverso un campo vettoriale

una delle idee più importanti in tutta la fisica

è il concetto di lavoro.

ora, quando per la prima volta apprendi il concetto, dici:

è solamente forza per la distanza

ma successivamente, quando si impara di più sui

vettori, si realizza che la forza non sta sempre andando

nella stessa direzione seguendo il tuo spostamento.

e così impari che il lavoro corrisponde a una grandezza, lasciamelo

scrivere qui, la grandezza della forza, nella direzione,

o la componente della forza nella direzione

di spostamento.

lo spostamento è solo una distanza con una qualche direzione

moltiplicato alla grandezza dello spostamento, o potresti dire,

moltiplicato alla distanza spostata.

e un'esempio classico

magari hai un cubo di ghiaccio, o qualche altro tipo di blocco

facciamo solo ghiaccio, così non molta c'è frizione.

e magari è su un lago più grande di ghiaccio.

e magari tu stai spingendo il cubo di ghiaccio secondo un angolo.

diciamo, stai spingendo a un angolo come questo

questa è la mia forza, proprio qui

diciamo che la mia forza è uguale a-- ecco, quello è

il mio vettore di forza

diciamo che la grandezza del mio vettore forza, è

diciamo 10 Newton.

e diciamo che la direzione del mio vettore forza, giusto?, ogni

vettore deve avere una grandezza e una direzione e una

direzione, diciamo che ha un angolo di 30 gradi, facciamo 60

gradi dell'angolo oltre l'asse orizzontale

quindi questa è la direzione in cui lo sto spingendo.

e diciamo che lo muovo

questo è tutta un modo per farvelo vedere

se tu lo sposti, diciamo di 5 newton

diciamo che lo spostamento, che poi è il vettore dello spostamento

proprio qui, e la sua grandezza è uguale a 5 metri

quindi hai imparato dalla definizione di lavoro, che non puoi

dire semplicemente, oh, 'spingo con 10 newton

di forza e

mi muovo di 5 metri.'

non puoi semplicemente moltiplicare 10 per 5

devi trovare la grandezza della componente che va nella

stessa direzione del mio spostamento.

quindi quello di cui ho bisogno essenzialmente è, la lunghezza, se tu

immagini che la lunghezza del vettore sia 10, quella è la

forza totale, ma hai bisogno di capire la lunghezza del

vettore, quella è la componente della forza che sta andando nella stessa

direzione del mio spostamento.

e adesso un poco di semplice trigonometria, lo sai che

questo è 10 volte il coseno di 60 gradi, o uguale a,

il coseno di 60 gradi è 1/2, quindi è solamente uguale a 5.

quindi questa grandezza, la grandezza della forza che va

nella stessa direzione dello spostamento che in questo

caso, è 5 newton

e allora puoi capire il lavoro.

si può dire che il lavoro è uguale a 5 newton per,

scriverò dei puntini per la moltiplicazione

non voglio che pensi che sia un prodotto

per 5 metri, che è 25, metri-newton or potresti

dire anche che 25 joule di lavoro sono stare fatte.

e tutto questo è solo una piccola visone di base della fisica

ma pensa solo a cosa è successo qui

che cos'è il lavoro?

se lo scrivo in astratto

il lavoro è uguale a 5 newton

che era la grandezza del mio vettore forza, quindi è la

grandezza del mio vettore forza, per il coseno di quest'angolo.

quindi, ecco.., chiamiamolo theta.

diciamo che è un pò troppo generale

quindi per il coseno dell'angolo.

questo è il quantitativo della mia forza in direzione dello

spostamento. il coseno dell'angolo è lì tra loro, per la

grandezza dello sposamento

quindi per la grandezza dello spostamento.

o se voglio riscriverlo, potrei riscrivere solo che, la

grandezza dello spostamento per la grandezza della

forza per il coseno di theta.

ho fatto molti video su questo, nella playlist dell'algebra lineare

e nella playlist della fisica, dove parlo dei

prodotti scalari e vettoriali, abbondantemente, ma

questo è il prodotto scalare del vettore d e f

quindi in generale, se cerchi di trovare il lavoro per una costante

di spostamento, e hai solo la forza costante, tu prendi semplicemente

il prodotto scalare di questi due vettori.

e se il prodotto scalare è un concetto che ti è completamente estraneo

magari potresti guardare, ne ho fatti molti, 4

o 5 video sui prodotti scalari la loro intuitività

e come paragonarli tra loro.

ma adesso ti darò giusto un poco di nozioni, ecco

qui, il prodotto scalare, quando prendo f scalare d, o d scalare f

cosa mi faccio, io moltiplico la grandezza, beh

potrei anche solo leggerla

ma l'idea che il prodotto scalare sia, prendendo quando di quel

vettore che sta andando nella stessa direzione come questo vettore

in questo caso così tanto.

e poi moltiplicare le due grandezze

ed ecco che cosa abbiamo fatto qui

quindi il lavoro sarà il vettore forza, scalare , prendendo la

parte scalare del vettore forza con il vettore spostamento.

e questo, ovviamente, ha un valore scalare.

e dopo lavoreremo su alcuni esempi dove

vedrai che tutto questo è vero

quindi questa è una revisione di tutta la fisica base

ora prediamo un esempio più complesso, ma è

semplicemente la stessa idea

definiamo il campo vettoriale

diciamo quindi che io ho un campo vettoriale f, e noi

penseremo tra un secondo a cosa significa.

questa è una funzione di x e y, ed è uguale ad alcune funzioni

scalari di x e y per la unità-i vettoriale oil

versore orizzontale, più alcune altre funzioni, la funzione

scalare di x e y per il versore verticale.

quindi cosa mostra questa equazione?

questo è un campo vettoriale.

è un campo vettoriale nelle due dimensioni

siamo nel piano x-y

o potresti dire anche, su R2.

comunque, non mi voglio mettere troppo in queste

elucubrazioni matematiche.

ma cosa fa questo?

beh, se cerco di disegnare il mio piano x-y, urgh, ecco,

me e i miei problemi a disegnare linee dritte.

ecco ci siamo

questa è la mia asse delle y e questa delle x

disegno solo il primo quadrante, ma tu puoi

andare in direzione negativa se ti va

cosa fa 'sta roba quindi?

beh, sta dicendo essenzialmente, guarda:

tu mi dai qualsiasi x qualsiasi y. tu dai quindi una x e una y, nel piano delle x-y

e queste andranno a finire in qualche numero no?

se prendi x, y ecco, andrai a trovare qualche valore che quando

lo metterai sulla x, y qui avrai un qualche valore.

quindi andrai a prendere qualche combinazione dei versori i-

e dei versori j-.

quindi prenderai lo stesso vettore

ciò che fa è definire un vettore che è associato con

ogni punto del piano x-y.

potresti dire, se prendo questo punto del piano x-y

comparirebbe questo, avrei qualcosa del tipo per i più

qualcos'altro per j, e quando li sommi magari avresti

un vettore come questo.

e si può fare per ogni punto

sto solo facendo esempi a caso

forse se vado lì il vettore somiglia

a qualcosa del genere

e se vado di qua il vettore è così

e se vado si là il vettore è cosà

mentre se vado qui sopra il vettore è così

sto solo prendendo punti a caso

definisce un vettore in tutte le coordinate x, y dove

queste funzioni scalari sono definite appropiatamente

ed è per questo che è chiamato campo vettoriale

definisce a che potenziale, e anche, la forza che ci sarebbe

o qualche altro tipo di forza a qualsiasi punto dato

a questo punto se hai qualcosa qui

magari è la definizione della funzione

potrei andare avanti per sempre

riempiendo tutti i buchi

ma penso tu abbia capito

associa un vettore con ogni punto del piano x-y

ora questo è chiamato campo di vettore quindi probabilmente

dà senso a quello che potrebbe essere usato per descrivere

ogni tipo di campo

potrebbe essere un campo di gravità

potrebbe essere un campo magnetico. potrebbe essere un campo elettrico

e questo ti direbbe essenzialmente con quanta forza

ci sarebbero alcune particelle in quello spazio

ed è esattamente quello che si descrive qui

ora, diciamo che in questo campo ho alcune particelle

che viaggiano sul piano x-y

ora, diciamo, che partono qui e per virtù di tutte queste pazze

forze che agiscono sul piano e magari sono su qualche scia

o altro e che quindi non si muovono sempre nella

direzione in cui il campo cerca di muoversi

diciamo anche che si muove per questa via. tipo così:

e che questo percorso o questa curva è definita dalla

posizione della funzione vettoriale

e diciamo che è definita da r di t che è

solo x di t per i più y di t per la nostra unità fattoriale j

che poi è r di t. è proprio qui.

bene, in modo che sia un percorso definito, questo è vero

prima che t sia più grande di o uguale ad a e minore

di o uguale a b

questo è il percorso della particella che è appena stata

presa a causa di queste strane forze

perciò quando le particelle sono proprio qui forse il campo vettoriale

sta agendo su di esso e magari ci sta mettendo pure delle forze, così:

ma visto che la cosa in alcuni tipi di percorso di muove

in questa direzione

e quando è qui forse il campo vettoriale si muove così

ma si muove in quella direzione perché è sopra alcuni

tipi di 'traccia'.

ora tutto quello che ho fatto in questo video era per arrivare

alla questione fondamentale

che cos'è il lavoro fatto da una particella nel campo?

per rispondere alla domanda potremmo sommare un poco

ora ingrandirò un poco su

un frammento del nostro percorso

e cerchiamo di capire che lavoro è stato fatto in una piccolissima

parte del nostro percorso perché sta cambiando costantemente.

il campo sta cambiando direzione

il mio oggetto sta cambiando direzione

quindi diciamo quando sono qui e diciamo che mi muovo in

una piccola parte del percorso

diciamo, mi muovo in una infinitesimamente

piccola direzione giusto?

ho un differenziale, un vettore differenziale, infinitesimamente

spostato di poco

e diciamo che nel corso di tutto, il campo vettoriale è

attivo in quest'area diciamo che somiglia ad

una cosa come questa

è aiutata dalle forze e somigliano a questo:

quindi il campo vettoriale in quell'area o la forza

diretta su quella particella quando è a quel punto

giusto?

è una porzione infinitesimale di spazio-tempo

potresti dire: ok oltre questo piccolo punto

abbiamo una forza costante

che cos'è il lavoro eseguito in questo breve periodo?

potresti dire anche qual'è il piccolo intervallo di lavoro?

potresti dire d lavoro il differenziale di lavoro