Line Integrals and Vector Fields

Een van de fundamenteelste ideeën in de Natuurkunde

is het concept "arbeid".

Wanneer je voor het eerst over arbeid leert, zeg je, oh, dat is

gewoon kracht vermenigvuldigd met afstand.

Maar later, wanneer je begint te leren over

vectoren, leer je dat de kracht niet altijd in dezelfde

richting gaat als de verplaatsing.

Dus leer je dat arbeid eigenlijk de grootte is, laat ik

het even opschrijven, de grootte van de kracht in de richting van de verplaatsing

of de component van de kracht in de richting

van de verplaatsing

Verplaatsing is gewoon een afstand in een zekere richting.

vermenigvuldigd met de grootte van de verplaatsing, of je zou kunnen zeggen:

vermenigvuldigd met de overbrugde afstand.

Hét klassieke voorbeeld.

Misschien is er een ijsblokje, of een ander type blok.

Ik neem hier een ijsblokje omdat dat weinig wrijving ondervindt.

Misschien staat het op een groot ijsmeer of zoiets.

En misschien ben jij aan dat ijsblokje aan het trekken onder een bepaalde hoek.

Stel bijvoorbeeld, dat je er zo onder een hoek aan trekt.

Dit hier is de kracht.

Laat ons stellen dat de kracht gelijk is aan — wel, dat dat

de krachtvector is.

Laat ons zeggen dat de grootte van mijn krachtvector

10 Newton is.

En laat ons zeggen dat de richting van mijn krachtvector, want

elke vector moet een grootte en een richting hebben, en de

richting, laat ons stellen dat hij een hoek van 30° heeft, nemen we hoek

van 60° met de horizontaal.

Dat is dus de richting waarin ik aan het trekken ben.

En veronderstel dat ik het blokje verplaats.

Dit is allemaal herhaling, hoop ik.

Als je het verplaatst, stel dat je het 5 newton verplaatst.

Stel dus dat de verplaatsing, dat is de verplaatsingsvector

hier, en de grootte ervan 5 meter is.

Je hebt dus uit de definitie van arbeid geleerd dat je niet gewoon

kan zeggen, oh, ik trek eraan met een kracht van 10 newton en

ik verplaats het 5 meter.

Je kan de 10 newton niet zomaar vermenigvuldigen met de 5 meter.

Je moet de grootte van de component van de kracht vinden die in

dezelfde richting gaat als de verplaatsing.

Wat ik dus eigenlijk moet doen is, de lengte, als je

de lengte van de vector 10 veronderstelt, dat is de

totale kracht, maar je moet de lengte van de vector

zien te achterhalen die de component van de kracht is die in dezelfde

richting gaat als de verplaatsing.

En een beetje simpele goniometrie leert dat

dit 10 keer de cosinus van 60° is, of dat is gelijk aan,

de cosinus van 60° is ½, dus dat is gewoon 5.

Deze grootte, de grootte van de kracht die in

dezelfde richting gaat als de verplaatsing is, in dit

geval, 5 newton.

En dan kan je de arbeid berekenen.

Je zou kunnen zeggen dat de arbeid gelijk is aan 5 newton maal, ik ga

gewoon een punt schrijven voor maal,

Ik wil niet dat je denkt dat het hier om een uitwendig product gaat,

maal 5 meter, wat 25 newtonmeter is, of je zou

zelfs kunnen zeggen dat er 25 joule arbeid is verricht.

En dit alles is min of meer een herhaling van wat basisnatuurkunde.

Maar denk na over wat er hier is gebeurd.

Wat was de arbeid?

Als ik het abstract opschrijf.

De arbeid is gelijk aan de 5 newton,

dat was de grootte van de krachtvector, dus is het de

grootte van mijn krachtvector maal de cosinus van deze hoek.

Zodat je het weet, laten we die hoek theta noemen.

Stellen we het iets algemener.

Dus maal de cosinus van de hoek.

Dit is de hoeveelheid kracht in de richting van de

verplaatsing, de cosinus van de hoek ertussen, maal de

grootte van de verplaatsing.

Dus vermenigvuldigd met de verplaatsing.

Of als ik dat zou willen herschrijven, zou ik dat gewoon kunnen herschrijven als de

grootte van de verplaatsing maal de grootte van

de kracht maal de cosinus van theta.

En ik heb hierover verschillende videos opgenomen, in de lineaire algebra

afspeellijst, in de natuurkunde afspeellijst, waar ik spreek over

het inproduct en het uitwendig product en al die dingen, maar

dit is het inwendig product van de vectoren d en f.

Algemeen geldt dat je, als je probeert de arbeid te vinden voor een constante

verplaatsing, en je hebt een constante kracht, je gewoon het

inwendig product neemt van die twee vectoren.

En als je het inproduct een concept is dat je helemaal niet begrijpt,

moet je misschien eens kijken, ik denk dat ik er meerdere heb gemaakt, 4

of 5 video's over het inproduct, en de intuïtie erachter.

Maar om je hier en nu een beetje van die intuïtie te geven,

het inproduct, wanneer ik f dot d, of d dot f doe,

dan geeft mij dat, ik vermenigvuldig de grootte, wel

ik zou dit gewoon kunnen voorlezen.

Maar het idee van het inwendig product is: neem zoveel van deze

vector als dat er in dezelfde richting gaat als deze vector,

in dit geval zoveel,

en vermenigvuldig de twee groottes.

En dat is wat we hier hebben gedaan.

De arbeid zal dus het inwendig product zijn van de de krachtvector

en de verplaatsingsvector,

en dit is natuurlijk een scalaire grootheid.

En in de toekomst zullen we wat voorbeelden uitwerken waar

je duidelijk zal zien dat dit klopt.

Dus dit alles is een herhaling van redelijk elementaire natuurkunde.

Laat ons nu een iets complexer voorbeeld nemen, maar het is

een volstrekt analoge gedachtengang.

Laten we een vectorveld definiëren.

Laat ons stellen dat ik een vectorveld f heb, en we gaan

zo meteen nadenken over wat dit betekent.

Het is een functie van x en y, en het is gelijk aan een zekere scalaire

functie van x en y vermenigvuldigd met de i-eenheidsvector, of de

horizontale eenheidsvector, plus een andere functie, scalaire

functie van x en y, vermenigvuldigd met de verticale eenheidsvector.

Dus wat zou zoiets zijn?

Dit is een vectorveld.

Dit is een vectorveld in een 2-dimensionale ruimte.

We zijn op het x-y-vlak.

Of je zou zelfs kunnen zeggen, op R².

In ieder geval, ik wil niet te diep ingaan op het

wiskundige aspect ervan.

Maar wat doet dit?

Wel, als ik hier mijn x-y-vlak zou tekenen, dus dat is mijn, nogmaals,

ik heb moeite met een rechte lijn te tekenen.

Oke, hier gaan we.

Dat is mijn y-as, en dat is mijn x-as.

Ik teken enkel het eerste kwadrant, maar je zou

ook de overige negatieve stukken kunnen tekenen als je dat zou willen.

Wat doet dit ding?

Well, het zegt hoofdzakelijk, kijk,

jij geeft mij eender welke x-waarde en y-waarde, eender welke x,y in het x-y-vlak,

en dit zullen getallen zijn, toch?

Als je x en y hier invult, zal je een zekere waarde krijgen, wanneer

je x en y hier invult, zal je een zekere waarde krijgen.

Dus je zal een zekere combinatie krijgen van de i-

en j- eenheidsvectoren.

Dus je gaat een bepaalde vector krijgen.

En wat dit doet, is dat het voor elk punt in het x-y-vlak

een vector definieert (het associeert een vector met elk punt).

Je zou dus kunnen stellen dat, als ik een punt neem op het x-y-vlak,

en ik zou dat hierin invoeren, dat ik iets zal krijgen maal i plus

iets maal j, en als je die twee optelt, krijg je misschien een

vector die er ongeveer zo uitziet.

En dat zou je bij elk punt kunnen doen.

Ik neem gewoon willekeurige voorbeelden.

Misschien dat de vector er op deze plaats

ongeveer zo uitziet.

Misschien dat hij er hier zo uitziet.

Misschien dat hij er hier zo uitziet.

En misschien dat hij hierboven zo gaat.

Ik kies gewoon willekeurig punten.

Het definieert een vector op alle x,y coördinaten waar

deze scalaire functies goed gedefinieerd zijn.

En daarom noemen we het een vectorveld.

Het definieert wat een potentiële, misschien, kracht zou zijn,

of een ander type kracht, op eender welk punt.

Op elk punt, als er daar iets is.

Misschien is dat wat de functie is.

En ik zou dit eeuwig kunnen blijven doen, en

alle gaten opvullen.

Maar ik denk dat je begrijpt wat er hier gebeurt.

Het associeert een vector met elk punt op het x-y vlak.

Nu, dit wordt een vectorveld genoemd, dus is het waarschijnlijk

logisch dat dit kan gebruikt worden om eender welk

type veld te beschrijven.

Het zou over een gravitatieveld kunnen gaan.

Het zou over een elektrisch veld kunnen gaan, of een magnetisch veld.

En het zou dus kunnen zeggen hoeveel kracht

er op een deeltje deeltje in dat veld zou werken.

Dat is precies wat dit zou beschrijven.

Nu, laat ons stellen dat er in dit veld een deeltje is

dat beweegt in het x-y vlak.

Stel dat het hier vertrekt, en dat het via deze gekke

krachten die erop inwerken, en misschien staat het op een soort van rails

of zoiets, zodat het niet altijd precies in de richting beweegt waarin

het veld het probeert te bewegen.

Stel dat het zich verplaatst over dit pad.

En laat ons ook stellen dat dit pad, of deze kromme, gedefinieerd is door

een positievector functie.

Stel dat deze gedefinieerd is door r van t, wat gewoon

x van t maal i plus y van t maal onze eenheidsvector j is.

Dit hier is r van t.

Wel, opdat dit een eindig pad zou zijn, is dit waar

voor t is groter dan of gelijk aan a, en kleiner dan

of gelijk aan b.

Dit is het pad dat het deeltje toevallig

volgt, door al deze gekke krachten.

Dus als het deeltje hier is, is het vectorveld er misschien

op aan het inwerken, misschien zet het op deze manier een kracht.

Maar aangezien het ding op gekke rails staat, beweegt het

in deze richting.

En dan, wanneer het hier is, is het vectorveld misschien zo,

maar beweegt het in die richting, omdat het op een

soort van rails staat.

Nu, alles wat ik in deze video heb gedaan is een opbouw

naar een fundamentele vraag.

Hoeveel arbeid heeft het veld verricht op het deeltje?

Om die vraag te beantwoorden, zouden we een beetje kunnen inzoomen.

Ik ga inzoomen op een klein

stukje van ons pad.

En laten we eens proberen te achterhalen hoeveel arbeid er wordt verricht in een heel

klein stukje van ons pad, omdat het voortdurend aan het veranderen is.

Het veld verandert van richting.

Mijn object verandert van richting.

Stel dus dat wanneer ik daar ben, en stel dat ik een klein

stukje beweeg op het pad.

Stel dat ik beweeg, dan is dit een infinitesimaal

kleine dr. Toch?

Ik heb een differentiaal, het is een differentiaal-vector, een oneindig

kleine verplaatsing.

Stel nu dat het vectorveld over dit pad

inwerkt in dit lokaal gebied, stel dat het er

ongeveer zo uitziet.

Het zet een kracht die er ongeveer zo uitziet.

Dat is dus het vectorveld op die plaats, of de kracht

die inwerkt op het deeltje, precies wanneer het op dit punt is.

Toch?

Het is een infinitesimaal klein stukje tijd in de ruimte.

Je zou kunnen zeggen, ok, in dit smalle, kleine puntje, hebben we

een constante kracht.

Hoeveel arbeid is er over deze kleine periode verricht?

Je zou kunnen zeggen, wat is het kleine interval van arbeid?

Je zou kunnen zeggen d-arbeid, een differentiaal aan arbeid.

Wel, op basis van precies dezelfde logica die we hebben gebruikt bij het simpele probleem,

het is de grootte van de kracht in de richting van

onze verplaatsing maal de grootte van onze verplaatsing.

En we weten wat dat is, gewoon uit dit voorbeeld hierboven.

Dat is het inwendig product (dotproduct).

Het is het inwendig product van de kracht en onze superkleine

verplaatsing.

Dus dat is gelijk aan het inwendig product van onze kracht en onze

superkleine verplaatsing.

Nu, door dit te doen, achterhalen we de arbeid die

verricht is over een super-, superkleine dr. Maar

wat we eigenlijk willen doen, is ze allemaal optellen.

We willen alle dr's optellen om het totaal te achterhalen,

alle inwendige producten van alle f's en dr's om de totale arbeid te achterhalen.

En daar komt de integraal om de hoek kijken.

We zullen een lijnintergraal doen over — ik bedoel, je zou er op

twee manieren over kunnen nadenken.

Je zou daar gewoon het inwendig product van d en w kunnen schrijven, maar we zouden kunnen zeggen, we doen

een lijnintegraal langs de kromme c, we kunnen het c noemen

of langs r, noem het hoe je wil, van dw.

Dat zal onze de totale arbeid geven.

Stel dus, arbeid is gelijk aan dat.

Of we kunnen het ook schrijven over de integraal, over dezelfde

kromme van f van f dot dr.