Green's and Stokes' Theorem Relationship

No último vídeo, começamos a
explorar o Teorema de Stokes.

O que quero fazer neste vídeo

é ver se este teorema é
consistente com algumas

coisas que nós já vimos.

E para fazer isto, vamos imaginar --
deixe-me desenhar os eixos.

Este é meu eixo z.

Este é meu eixo x.

E este é meu eixo y.

Vamos imaginar agora uma
região no plano xy.

Vou desenhar da seguinte forma.

Digamos que esta é minha
região no plano xy.

Vou chamá-la de Região R.
E também temos aqui

os limites desta região.

Digamos que é importante saber o sentido
em que caminhamos sobre o contorno.

E digamos que vamos caminhar
em sentido anti-horário.

Portanto, temos este caminho
que contorna a região.

Podemos chamá-lo de c.

Portanto chamaremos de c, e iremos

caminhar no sentido anti-horário.

Digamos que também temos
um campo vetorial f.

Cujo componente i será
essencialmente

funcão de x e y.

E seu componente j será função
também de x e y.

Digamos que este campo não
possui componente k.

Portanto o campo vetorial
nesta região,

deverá parecer algo deste tipo.

Estou só fazendo figuras aleatórias.

E se eu saio desta região,

se vou na direção z,

teremos o mesmo padrão
a medida que subimos.

Portanto este vetor
não se alteraria

se mudássemos seu componente z.

E todos os vetores seriam essencialmente
paralelos a, ou se z é igual a zero

estariam no plano xy.

Sendo assim, vamos pensar sobre o que

o Teorema de Stokes nos diz sobre
o valor da integral de linha

ao longo do contorno
-- deixe-me desenhar

isto um pouco melhor.

A integral de linha ao longo

do contorno c de F ponto dr

F ponto dr, onde dr é
obviamente

ao longo do contorno.

Portanto usamos o Teorema
de Stokes, então este valor

aqui deve ser igual a
este valor bem aqui.

Deve ser igual à integral dupla
ao longo da superfície.

Bem, esta região é de fato
apenas a superfície

que está sobre o plano xy.

Portanto isto deve ser
a integral dupla --

deixe-me escrever
no mesmo --

será a integral dupla de nossa
região, que é na verdade

a mesma coisa que nossa superfície,

do rotacional de F ponto n.

Vamos pensar o que é o rotacional
de F ponto n.

E o ds seria apenas um pequeno
pedaço de nossa região

um pedaço desta superfície
achatada bem aqui.

Portanto em vez de ds,
eu escreverei dA.

Vamos pensar no que de fato
o rotacional de F ponto n é.

Vamos pensar no rotacional de F primeiro.

O rotacional de F -- e a forma
que sempre me recordo

é que iremos obter o
determinante de ijk,

derivada parcial em relação a x,
parcial em relação a y,

e parcial em relação z.

Esta é apenas a definição
de um rotacional.

Estamos tentando descobrir o quanto
este campo vetorial

causaria rotação em algo.

E então desejamos o
componente i, que é

nossa função de P, que é
função de x e y,

o componente j, que é
a função Q.

E como não há componente
na direção z, temos zero.

E isto será igual a

se observamos o componente i, ele será
a derivada parcial de y de zero.

O resultado disto será zero,
menos a derivada parcial de

q em relação a z.

Bem, qual é a derivada parcial de
q em relação a z?

Bem, q não é de forma
alguma função de z.

E também será igual a zero
-- deixe-me escrever isto

para que não fique muito confuso.

Nossa componente i será a
derivada parcial de zero

em relação a y.

Isto será igual a zero menos
a derivada parcial de Q

em relação a z.

A derivada parcial de
Q em relação a z

é igual a zero.

Temos o componente i igual a zero.

Na sequência temos de
subtrair o componente j.

Também a derivada parcial de zero da
componente j em relação a x é zero.

E disto, iremos subtrair
a derivada parcial de P

em relação a z.

Novamente, P não é função de z.

Logo, teremos zero.

E além disso temos k positivo
vezes a derivada parcial de Q

em relação a x.

Este é apenas o operador
de derivação parcial.

Logo, a derivada parcial de Q
em relação a x.

E disto vamos subtrair a
derivada parcial de P

em relação a y.

Derviada parcial de P em relação a y.

O rotacional de F é simplificado
para esta forma.

Agora, o que é n?

Qual é o vetor unitário normal?

Bem, estamos no plano xy.

Logo, o vetor normal unitário

será na direção z.

Ele terá magnitude de um.

Neste caso, nosso vetor
unitário normal

será simplesmente o vetor k.

Iremos essencialmente tomar...

Então o rotacional de F é isto.

E nosso vetor normal unitário
é simplesmente igual a k.

Ele será igual ao
vetor unitário k.

E direcionado
para cima.

E o que acontece se obtemos
o rotacional de F ponto k?

Se nós obtivermos o produto
escalar com o vetor k.

Se fizermos o produto
escalar disso com isto.

Bem, nós obteremos apenas
esta parte bem aqui.

O rotacional de F vezes o vetor
normal unitário será igual

a este negócio bem aqui.

Ele será igual à derivada parcial
de Q em relação a x

menos a derivada parcial
de P em relação a y.

E isto é legal pois usando
o Teorema de Stokes

neste caso especial, onde resolvemos

uma superfície plana no plano x

e que nesta situação, se resume
ao Teorema de Green.

Isto bem aqui é a redução
ao Teorema de Green.

Então o que o Teorema de Green é, é
essencialmente um caso especial --

deixe-me escrever Teorema
um pouco melhor.

Vemos que o Teorema de Green é na verdade

um caso especial do Teorema de Stokes,

onde a superfície é achatada, e
se encontra no plano xy.

Isto deveria nos fazer sentir muito
bem, apesar de não termos

ainda provado o Teorema de Stokes.

Mas uma coisa que gosto disto é ver que

o Teorema de Green e Stokes
são consistentes

faz com que isto aqui comece
a fazer sentido.

Ao conhecer o Teorema de Green

Pensamos: o que é isto?

O que está acontecendo aqui?

E agora ele diz que está tomando

o rotacional desta região ao
longo desta superfície.

E agora faz muito mais sentido
baseado na intuição que

vimos no último vídeo.

Legendado por [Bernardo Blasi Villari]
Revisado por: [ Marcos Pereira ]