Washer method rotating around non-axis

Vamos resolver um problema interessante.

Temos as curvas y igual a x e

y igual a x ao quadrado menos 2x

E vamos rotacionar a região

interna a essas duas funções,

que destaco agora.

Mas não vamos girar em torno do eixo x,

e sim em torno da linha horizontal
y igual a quatro,

como mostra o desenho.

Após a rotação, teremos uma figura
parecida com esta,

que foi desenhada previamente.

Ela se parece com um vaso

com um buraco no fundo.

Vamos usar o que podemos chamar de

método da anilha, que é uma variação

do método do disco.

Começamos construindo a anilha,

tomando um ponto x qualquer,

como este, por exemplo.

E supondo que estamos sobre esta posição,

vamos rotacionar esta região.

Introduzindo uma profundidade dx,

e girando em torno da linha y igual a 4.

Note que há uma profundidade aqui.

Ao efetuarmos a rotação, o raio interno

será equivalente ao raio interno da anilha

e ficará parecido com isto aqui.

Já o raio externo da anilha vai contornar

a curva x ao quadrado menos 2x.

Com muito esforço, podemos imaginar

que o resultado será parecido com este.

Certamente nossa anilha terá

alguma profundidade, representada por dx.

Esta é a melhor representação
que consigo fazer

Destacaremos a face da anilha em verde

e a face da anilha será tudo isso aqui.

Se pudermos descobrir o volume
de uma anilha como essa,

para um certo valor de x,
então podemos somar todas as

anilhas contidas em um intervalo.

Vamos tentar escrever a integral

para estimar seu valor no próximo vídeo.

Voltando para o volume da anilha,

para descrever esse volume

devemos tomar a área da face da anilha.

E qual será a área da face da anilha?

Para calcular a área - considerando que
a anilha pode ser aproximada a uma cunha -

subtraindo a área da região excluída.

Se a anilha não possuísse um buraco

em seu centro, então a área seria

pi vezes o raio externo ao quadrado.

mas já que a anilha possui um buraco,

vamos subtrair a área do círculo interno

que será pi vezes o raio
interno ao quadrado.

Precisamos agora determinar

o valor dos raios internos e externos.

Pensando um pouco

podemos observar aqui no desenho,

onde temos o raio externo, que é igual

a este elemento, que é a distância

entre a linha y igual a quatro e a função

que define a região externa da anilha.

A altura destacada será calculada por

quatro menos x ao quadrado menos 2x,

ou a distância entre as duas funções.

Assim, o raio externo será quatro menos

x ao quadrado menos 2x, ou

quatro menos x ao quadrado mais 2x.

E quanto ao raio interno?

Quanto valerá?

Bem, o raio interno será a distância entre

y igual a quatro e y igual a x, ou seja,

quatro menos x.

Assim, se quisermos determinar a área da

face de uma dessas anilhas teremos que

multiplicar o quadrado do
raio externo por pi

equivalendo ao quadrado de quatro menos

x ao quadrado mais 2x

subtraindo de pi vezes o

quadrado do raio interno.

Fatoramos o pi, ficando com a expressão

menos o quadrado de quatro menos x.

Assim teremos a área da superfície ou

da face de uma das anilhas.

Para determinarmos o volume
de uma das anilhas,

basta multiplicar pela profundidade dx.

E se quisermos calcular o volume de toda

a figura, então basta somar todas as

anilhas no intervalo de x desejado.

Vamos lá.

Vamos somar todas as anilhas do intervalo

e tomar o limite tendendo a zero,

mas primeiro precisamos cuidadosamente

determinar o intervalo, que será toda a

região entre os pontos de intersecção
das curvas.

Vamos conferir.

Precisamos determinar os pontos

de intersecção entre y igual a x e y

igual a x ao quadrado menos 2x.

Vou usar uma cor diferente agora.

Vamos determinar quando x é igual a

x ao quadrado menos 2x.

Quando as duas funções se igualam?

Subtraindo x dos dois lados da igualdade

temos x ao quadrado menos 3x igual a zero.

Fatorando um x do lado direito, ficaremos

com o produto de x por x
menos três igual a zero.

Bem, se o produto é igual a zero, então

pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Ou x é igual a zero, ou x menos três é.

Assim, temos x é igual a zero,
ou x é igual a três.

Aqui temos o x igual a zero,

e aqui o x igual a três,

determinando assim o nosso intervalo.

Iremos de x igual a zero até

x igual a três para obter nosso volume.

Em nosso próximo vídeo estimaremos
o valor dessa integral.

Legendado por: Tatiana F. D'Addio
Revisado por: Pilar Dib