< Return to Video

Washer method rotating around non-axis

  • 0:00 - 0:01
  • 0:01 - 0:03
    ตอนนี้ลองมาทำโจทย์ที่น่าสนใจกัน
  • 0:03 - 0:05
    ผมมี y เท่ากับ x, และ y เท่ากับ x
  • 0:05 - 0:08
    กำลังสองลบ 2x ตรงนี้
  • 0:08 - 0:10
    และเราจะหมุนพื้นที่นี้
  • 0:10 - 0:11
    ระหว่างฟังก์ชันสองตัว
  • 0:11 - 0:13
    นั่นคือพื้นที่นี่ตรงนี้
  • 0:13 - 0:16
    และเราจะไม่หมุนรอบแกน x
  • 0:16 - 0:19
    แต่เราจะหมุนมันรอบเส้นแนวนอน y เท่ากับ 4
  • 0:19 - 0:21
    เราจะหมุนมันรอบเส้นนี้
  • 0:21 - 0:24
    ถ้าเราทำอย่างนั้น เราจะได้รูปทรงอย่างนี้
  • 0:24 - 0:27
    ผมวาดมันล่วงหน้า ผมจะได้วาดอย่างสวยงาม
  • 0:27 - 0:30
    อย่างที่คุณเห็น มันดูเหมือนแจกัน
  • 0:30 - 0:32
    ที่มีรูตรงก้น
  • 0:32 - 0:35
    และสิ่งที่เราจะทำคือหาปริมาตรโดย
  • 0:35 - 0:36
    จะเรียกว่าวิธีแบบวงแหวนก็ได้
  • 0:36 - 0:38
    เป็นการประยุกต์วิธีแบบจาน
  • 0:38 - 0:40
    ลองสร้างวงแหวนกัน
  • 0:40 - 0:42
    ลองดูที่ค่า x ค่าหนึ่ง
  • 0:42 - 0:46
    สมมุติว่า x ตรงนี้
  • 0:46 - 0:48
    สมมุติว่าเราอยู่ที่ x ตรงนี้
  • 0:48 - 0:48
    และสิ่งที่เราจะทำคือเราจะ
  • 0:48 - 0:50
    หมุนเขตนี้
  • 0:50 - 0:54
    เราจะให้มันมีความหนา dx
  • 0:54 - 0:55
    นั่นคือ dx
  • 0:55 - 0:57
    เราจะหมุนอันนี้รอบเส้นตรง y
  • 0:57 - 0:58
    เท่ากับ 4
  • 0:58 - 1:03
    ถ้าคุณมองภาพมันตรงนี้ คุณจะได้ความหนา
  • 1:03 - 1:05
    และเมื่อคุณหมุนมัน รัศมีใน
  • 1:05 - 1:08
    จะเป็นรัศมีในของวงแหวน
  • 1:08 - 1:09
    มันจะเป็นแบบนั้น
  • 1:09 - 1:12
  • 1:12 - 1:14
    แล้วรัศมีนอกของวงแหวนเรา
  • 1:14 - 1:17
    จะวนรอบ x กำลังสองลบ 2x
  • 1:17 - 1:22
    มันจะเป็นแบบ --
  • 1:22 - 1:24
    ผมพยายามวาดให้ดีที่สุดแล้ว -- มัน
  • 1:24 - 1:25
    จะเป็นแบบนั้น
  • 1:25 - 1:28
  • 1:28 - 1:31
    และแน่นอน วงแหวนของเราจะมีความหนา
  • 1:31 - 1:32
    ขอผมวาดความหนานะ
  • 1:32 - 1:36
    มันจะมีความหนา dx
  • 1:36 - 1:40
    ผมพยายามวาดความหนาอย่างดีที่สุดแล้ว
  • 1:40 - 1:43
    นี่คือความหนาของวงแหวน
  • 1:43 - 1:45
    แล้วเพื่อให้หน้าของวงแหวน
  • 1:45 - 1:47
    ชัดขึ้น ผมจะวาดด้วยสีเขียวนะ
  • 1:47 - 1:49
    หน้าของวงแหวนจะ
  • 1:49 - 1:52
    เป็นทั้งหมดนี้
  • 1:52 - 1:57
    ทั้งหมดนี้จะเป็นหน้าของวงแหวน
  • 1:57 - 1:59
    ถ้าเราหาปริมาตรของ
  • 1:59 - 2:01
    วงแหวนหนึ่งวงสำหรับ x ใดๆ เราจะ
  • 2:01 - 2:03
    ต้องบวกวงแหวนสำหรับค่า x
  • 2:03 - 2:06
    ทั้งหมดในช่วงของเรานี้
  • 2:06 - 2:08
    ลองดูว่าเราตั้งอินทิกรัล
  • 2:08 - 2:10
    บางทีในวิดีโอหน้า เราจะ
  • 2:10 - 2:14
    ทำต่อและหาค่าอินทิกรัลนี้
  • 2:14 - 2:16
    ลองคิดถึงปริมาตรของวงแหวนกัน
  • 2:16 - 2:18
    เวลาคิดถึงปริมาตรของวงแหวน
  • 2:18 - 2:20
    เราก็แค่ต้องคิดถึงพื้นที่
  • 2:20 - 2:22
    ของหน้าวงแหวน
  • 2:22 - 2:27
    พื้นที่ของหน้า -- ใส่หน้า
    ในเครื่องหมายคำพูด --
  • 2:27 - 2:28
    มันจะเท่ากับอะไร?
  • 2:28 - 2:31
    มันจะเท่ากับพื้นที่ของวงแหวน --
  • 2:31 - 2:33
    ถ้าไม่ใช่วงแหวน ถ้ามันเป็นแค่เหรียญ --
  • 2:33 - 2:35
    แล้วลบพื้นที่ของส่วน
  • 2:35 - 2:36
    ที่คุณตัดออก
  • 2:36 - 2:39
    พื้นที่ของวงแหวนถ้าผมไม่ได้
  • 2:39 - 2:41
    มีรูตรงกลาง จะเท่ากับ
  • 2:41 - 2:44
    พายคูณรัศมีนอกกำลังสอง
  • 2:44 - 2:48
  • 2:48 - 2:51
    มันจะเป็นพายคูณรัศมีนี้กำลังสอง
  • 2:51 - 2:53
    ที่เราเรียกว่ารัศมีนอก
  • 2:53 - 2:55
    และเนื่องจากมันเป็นวงแหวน เราต้องลบ
  • 2:55 - 2:57
    พื้นที่วงกลมในนี้
  • 2:57 - 3:06
    ลบพายคูณรัศมีในกำลังสอง
  • 3:06 - 3:07
    เราก็แค่ต้องหา
  • 3:07 - 3:11
    ว่ารัศมีนอกและรัศมีในคืออะไร
  • 3:11 - 3:13
    ลองคิดกันดู
  • 3:13 - 3:20
    รัศมีนอกจะเท่ากับอะไร?
  • 3:20 - 3:21
    เรามองภาพมันตรงนี้ได้
  • 3:21 - 3:24
    นี่คือรัศมีนอกของเรา ซึ่ง
  • 3:24 - 3:28
    เท่ากับอันนั้นตรงนั้นด้วย
  • 3:28 - 3:30
    นั่นคือระยะระหว่าง y เท่ากับ
  • 3:30 - 3:32
    4 กับฟังก์ชันที่กำหนดค่าข้างนอก
  • 3:32 - 3:38
  • 3:38 - 3:41
    นี่ก็คือ ความสูงนี่ตรงนี้
  • 3:41 - 3:45
    จะเท่ากับ 4 ลบ x กำลังสองลบ 2x
  • 3:45 - 3:48
    ผมแค่หาระยะหรือความสูง
    ระหว่างฟังก์ชันสองตัวนี้
  • 3:48 - 3:49
  • 3:49 - 3:52
    รัศมีนอกจึงเท่ากับ 4 ลบค่านี้
  • 3:52 - 3:55
    ลบ x กำลังสองลบ 2x ซึ่งก็คือ 4
  • 3:55 - 3:59
    ลบ x กำลังสองบวก 2x
  • 3:59 - 4:00
    ทีนี้ รัศมีในเป็นเท่าใด?
  • 4:00 - 4:05
  • 4:05 - 4:07
    มันจะเท่ากับอะไร?
  • 4:07 - 4:12
    มันจะเท่ากับระยะนี้ระหว่าง y
  • 4:12 - 4:13
    เท่ากับ 4 กับ y เท่ากับ x
  • 4:13 - 4:15
    มันจึงเท่ากับ 4 ลบ x
  • 4:15 - 4:19
  • 4:19 - 4:23
    ถ้าเราอยากหาพื้นที่ของหน้า
  • 4:23 - 4:27
    วงแหวนอันหนึ่งสำหรับค่า x ใดๆ
    มันจะเท่ากับ --
  • 4:27 - 4:30
    เราแยกพายนี้ออกมาได้ -- มัน
  • 4:30 - 4:35
    จะเท่ากับพายคูณรัศมีนอกกำลังสอง
  • 4:35 - 4:37
    ซึ่งก็คือทั้งหมดนี้กำลังสอง
  • 4:37 - 4:42
    มันจึงเท่ากับ 4 ลบ x กำลังสอง
    บวก 2x กำลังสอง
  • 4:42 - 4:43
    ลบพายคูณรัศมีใน --
  • 4:43 - 4:45
    ถึงแม้เราจะแยกพายออกมา --
  • 4:45 - 4:47
    ลบรัศมีในกำลังสอง
  • 4:47 - 4:52
    ลบ 4 ลบ x กำลังสอง
  • 4:52 - 4:58
    อันนี้จะให้พื้นที่ผิว
  • 4:58 - 4:59
    หรือหน้าของวงแหวนหนึ่งอัน
  • 4:59 - 5:02
    ถ้าเราต้องการปริมาตรของวงแหวนอันหนึ่ง
  • 5:02 - 5:05
    เราก็แค่ต้องคูณมันด้วยความหนาคือ dx
  • 5:05 - 5:08
  • 5:08 - 5:11
    แล้วถ้าเราหาปริมาตรของทั้งรูปนี้
  • 5:11 - 5:14
    เราก็แค่ต้องบวกวงแหวนเหล่านี้
  • 5:14 - 5:16
    สำหรับ x แต่ละตัว
  • 5:16 - 5:17
    ลองทำกันดู
  • 5:17 - 5:19
    เราจะบวกวงแหวนสำหรับ
  • 5:19 - 5:21
    x แต่ละค่าแล้วหาลิมิตเมื่อมันเข้าใกล้ 0
  • 5:21 - 5:23
    แต่เราต้องดูให้แน่ใจว่าช่วงของเราถูกต้อง
  • 5:23 - 5:26
    พวกนี้คืออะไร -- เราสนใจเขตทั้งหมด
  • 5:26 - 5:29
    ระหว่างจุดที่พวกมันตัดกัน
  • 5:29 - 5:31
    ลองดูให้แน่ใจว่าเราได้ช่วงถูกต้อง
  • 5:31 - 5:32
    เวลาหาช่วง เราแค่
  • 5:32 - 5:36
    บอกว่า y เท่ากับ x ตัดกับ y เท่ากับ
  • 5:36 - 5:37
    x กำลังสองลบ 2x ที่ไหน?
  • 5:37 - 5:40
  • 5:40 - 5:42
    ขอผมใช้อีกสีนะ
  • 5:42 - 5:44
    เราแค่ต้องคิดว่า
  • 5:44 - 5:46
    x เท่ากับ x กำลังสองลบ 2x เมื่อไหร่
  • 5:46 - 5:49
  • 5:49 - 5:51
    ฟังก์ชันสองตัวของเราเท่ากันเมื่อไหร่?
  • 5:51 - 5:53
    ซึ่งเทียบเท่ากับ -- ถ้าเราแค่
  • 5:53 - 5:59
    ลบ x จากทั้งสองข้าง เราจะได้
  • 5:59 - 6:02
    x กำลังสองลบ 3x เท่ากับ 0 เมื่อไหร่
  • 6:02 - 6:05
    เราแยก x ทางขวามือได้
  • 6:05 - 6:10
    อันนี้จะเป็นค่าที่ x คูณ x ลบ 3 เท่ากับ 0
  • 6:10 - 6:12
    ถ้าผลคูณเท่ากับ 0 อย่างน้อยหนึ่งในนี้
  • 6:12 - 6:13
    ต้องเท่ากับ 0
  • 6:13 - 6:18
    x จึงเท่ากับ 0 ได้ หรือ x ลบ 3 เท่ากับ 0 ได้
  • 6:18 - 6:21
    x จึงเท่ากับ 0 หรือ x เท่ากับ 3
  • 6:21 - 6:24
    นี่ก็คือ x เป็น 0 และค่านี่ตรงนี้
  • 6:24 - 6:26
    คือ x เท่ากับ 3
  • 6:26 - 6:27
    มันให้ช่วงนี้มา
  • 6:27 - 6:29
    เราจะไปจาก x เท่ากับ 0
  • 6:29 - 6:33
    ถึง x เท่ากับ 3 ได้ปริมาตรนี้
  • 6:33 - 6:35
    ในวิดีโอหน้า เราจะ
  • 6:35 - 6:37
    หาค่าอินทิกรัลนี้กัน
Title:
Washer method rotating around non-axis
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:37

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.