45-45-90 Triangle Side Ratios

В последното видео показахме, че отношението на
страните в триъгълник 30-60-90 са...

ако приемем, че най-дългата страна е х,

хипотенузата е х, най-късата
страна е х/2 и страната между тях,

страната, която е противоположна на 60 градуса,
е корен квадратен от (3х/2).

Друг начин да мислим за това е, ако
най-късата страна е едно

и аз ще направя най-късата страна,
след това средната страна,

след това най-дългата страна.
Ако страната срещу 30 градуса е 1,

тогава страната срещу ъгъла от 60 градуса

е корен квадратен от три по това.
Тя е корен квадратен от три и след това

хипотенузата ще бъде два пъти това.

В последното видео започнахме с х
и казахме, че

страната срещу ъгъла от
30 градуса е х върху 2,

но ако тя е 1, тогава това
ще се удвои и ще бъде 2.

Това ето тук е страната срещу 30 градуса,
това е страната срещу 60 градуса

и това е хипотенузата,
страната срещу 90 градуса.

И така, ако видиш триъгълник, който
има тези отношения, можеш да кажеш:

Хей, това е триъгълник 30-60-90.

Или ако видиш триъгълник, за който знаеш, че
е триъгълник 30-60-90,

можеш да кажеш: Хей, знам как да намеря

една от страните въз основа на
това отношение ето тук.

И само като пример:

Ако видиш триъгълник, който
изглежда по този начин,

където страните са 2,
2 по корен квадратен от 3 и 4.

Още веднъж, отношението 2 към
2 по корен квадратен от 3

е 1 към корен квадратен от 3.

Отношението 2:4 е същото нещо като 1:2,
значи това тук трябва да бъде триъгълник 30-60-90.

В това видео искам да покажа друг важен тип триъгълник,
който се появява доста често

в геометрията и доста в тригонометрията.

И това е триъгълник 45-45-90.

Или друг начин да мислиш за това е, ако имам правоъгълен триъгълник, който е също и равнобедрен.

Правоъгълен триъгълник, който
също е и равнобедрен.

Очевидно не можеш да имаш правоъгълен триъгълник,
който е равностранен,

защото в равностранния триъгълник всички
ъгли трябва да бъдат 60 градуса.

Но можеш да имаш правоъгълен триъгълник,
който е равнобедрен.

Равнобедреният триъгълник – нека напиша това,

това е правоъгълен равнобедрен,
рав-но-бед-рен триъгълник.

И ако той е равнобедрен, това означава,
че 2 от страните са равни.

Това са двете страни,
които са равни.

И след това, ако две от страните са равни,
ние доказахме, че ъглите при основата са равни.

Ако наречем мярката на тези ъгли при основата х,
сега знаем, че х + х + 90

трябва да бъде равно на 180.

х + х + 90 трябва да бъде равно на 180.

Ако извадим 90 от двете страни,
получаваме х + х = 90.

Или 2х = 90 и ако разделиш двете страни на 2,
получаваш х = 45 градуса.

Така че правоъгълният равнобедрен триъгълник може също да бъде наречен, и това е най-типичното име за него,

той може да бъде наречен също
триъгълник 45-45-90.

Искам в това видео
да намеря отношенията на страните

в триъгълник 45-45-90, точно както направихме
за триъгълник 30-60-90.

И този е всъщност много по-лесен.

Защото в триъгълника 45-45-90,
ако наречем едно

от бедрата х, другото бедро
също ще бъде х.

И след това можем да използваме питагоровата теорема, за да намерим дължината

на хипотенузата.

Нека наречем дължината на хипотенузата 'с'.

Получаваме х^2 + х^2, това са
квадратите на двете бедра.

Когато ги съберем, това трябва
да бъде равно на с^2.

Това се получава точно от
питагоровата теорема.

Така че получаваме 2х^2 = с^2.

Можем да коренуваме двете страни.

Искам да го сменя с жълто, а
това не ми позволява... добре.

Сега нека коренуваме двете страни на това.

Корен квадратен от двете страни.

В лявата страна получаваме... корен от 2 е
просто корен квадратен от 2.

Квадратен корен от х^2 ще бъде просто х.

Така че ще имаме х по корен квадратен
от 2 е равно на с.

Така че за правоъгълен равнобедрен триъгълник,
независимо колко са двете бедра –

те ще имат еднаква дължина, защото
той е равнобедрен –

хипотенузата е корен квадратен
от 2 по това.

Така че с е равно на х по
корен квадратен от 2.

Така например, ако имаш триъгълник,
който изглежда така.

Нека го начертая по малко
по-различен начин.

Добре е да се ориентираме по
различни начини всеки път.

Така че, ако виждаме триъгълник, който е
90 градуса, 45 и 45 като този.

И ти наистина просто трябва да знаеш два от тези ъгли,
за да намериш колко

ще бъде другия.

И ако ти кажа, че
тази страна тук е 3.

Всъщност, дори не трябва да ти казвам,
че тази друга страна ще бъде 3.

Това е равнобедрен триъгълник,
така че двете бедра ще бъдат равни.

И ти дори не трябва да прилагаш
питагоровата теорема, ако знаеш това.

А това е добре да се знае –

че хипотенузата тук, страната
срещу ъгъла от 90 градуса,

просто е корен квадратен от 2 по дължината
на което и да е от бедрата.

Така че това ще бъде 3 по
корен квадратен от 2.

И така, отношението на страните и хипотенузата
в триъгълник 45-45-90

или правоъгълен равнобедрен триъгълник.

Отношението на страните е:
едно от бедрата може да бъде 1,

след това другото бедро
ще бъде със същата дължина.

И после хипотенузата ще бъде
корен квадратен от 2 по едно от тези.

Едно към едно към корен квадратен от две.

И така, това е триъгълник 45-45-90, нека го напиша,
това е триъгълник 45-45-90.

Това са отношенията. И само
като преговор, ако имаш триъгълник 30-60-90,

отношенията са едно към
корен квадратен от три към две.

И сега ще прилагаме това в редица задачи.