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En el último vídeo, tuvimos este rectángulo, y se utilizó un triple
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integrante de averiguar su volumen.
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Y sé que probablemente estaban pensando, bueno, yo podría tener
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acaba de utilizar mi geometría básica para multiplicar la altura de los tiempos
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el ancho por la profundidad.
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Y eso es cierto, porque se trataba de una función constante de valor.
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Y entonces, incluso una vez que se evalúa, una vez que se integra
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con respecto a la z, que terminó con una integral doble, lo cual
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es exactamente lo que hemos hecho en los últimos vídeos
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cuando se acaba de enterar de que el volumen bajo una superficie.
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Pero entonces, hemos añadido un toque al final del vídeo.
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Dijimos, bueno, podría haber descubierto el volumen dentro de
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este dominio rectangular, supongo, muy sencillo
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uso de las cosas que ya sabías.
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Pero lo que si nuestro objetivo no es determinar el volumen?
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Nuestro objetivo era determinar la masa de este volumen, e incluso
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Además, el material que estamos tomando el volumen de - ya sea
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es un volumen de gas o un volumen de un sólido - que
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su densidad no es constante.
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Así que ahora la masa se convierte en una especie de - no sé --
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interesante para calcular.
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Y así, lo que nos define, nos define una función de densidad.
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Y Rho, este p buscando algo con un fondo con curvas - que
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nos da la densidad en un momento dado.
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Y al final del último vídeo que dijo,
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Bueno, ¿qué es la masa?
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La masa es simplemente la densidad de volumen de los tiempos.
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Usted puede verla de otra manera.
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La densidad es lo mismo que la masa dividida por el volumen.
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Por lo tanto la masa alrededor de un punto muy, muy pequeño, y llamamos a que
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d masa, el diferencial de la masa, va igual a la
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densidad en ese punto, o la densidad aproximada exactamente a que
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puntos, Times el diferencial de volumen en torno a ese punto,
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veces el volumen de este pequeño cubo pequeño.
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Y entonces, como lo vimos en el último video, si usted está utilizando
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coordenadas rectangulares, esta diferencia de volumen sólo podía
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ser los tiempos distancia x la distancia Y veces la distancia z.
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Así, la densidad era que nuestra función de densidad se define
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ser x, y, z, y queríamos averiguar el
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masa de este volumen.
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Y digamos que nuestros X, Y, y Z-su
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los valores, digamos que están en metros y digamos que este
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densidad es en kilogramos por metro cúbico.
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Así que nuestra respuesta va a ser en kilogramos, si ese fuera el caso.
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Y esos son la clase de las unidades del SI tradicionales.
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Así que vamos a averiguar la masa de este volumen variable denso.
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Así que todo lo que hacemos es que tenemos la misma integral aquí.
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De modo que el diferencial de masa va a ser este valor,
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así que vamos a escribir eso.
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Es x - Quiero asegurarme de que no se quede sin espacio
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xyz veces - y voy a integrarse con
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con respecto a dz primera.
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Pero en realidad se podría cambiar el orden.
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Tal vez lo haremos en el siguiente video.
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Haremos dz primero, y luego vamos a hacer dy, a continuación, vamos a hacer dx.
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Una vez más, esto es sólo la masa en cualquier pequeña
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diferencial de volumen.
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Y si nos integramos con z primero que dijo z pasa de qué?
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Los límites en z fueron de 0 a 2.
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Los límites en z fueron de 0 a 2.
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Y los límites de x, x pasó de 0 a 3.
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¿Y cómo evaluamos esto?
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Bien, ¿qué es la primitiva--somos
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en primer lugar la integración con respecto a z.
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¿Qué es la primitiva de xyz con respecto a z?
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Bueno, vamos a ver.
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Esto es sólo una constante será xyz cuadrado más 2.
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¿Verdad?
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Sí, es cierto.
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Y luego te evaluamos de 2 a 0.
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Y así obtendrá--sé que voy a quedarse sin espacio.
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Por lo que vas a conseguir 2 cuadrado, que es 4,
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dividido por 2, que es 2.
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Por eso, 2xy menos 0.
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Así que cuando usted evaluar este primero nos pondremos 2xy, y
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Ahora tienes las otras dos integrales que dejó.
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Por eso no escribo las otras dos integrales hacia abajo.
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Tal vez voy a escribir.
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Así te dejan con dos integrales.
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Te dejan con dy y dx.
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Y va de 0 a 4 y x va de 0 a 3.
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Definitivamente voy a quedarse sin espacio.
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Y ahora llevar la primitiva de este
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con respecto a y.
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¿Qué es la primitiva de este con respecto a y?
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Quiero borrar algunas cosas sólo por lo que no entiendo demasiado desordenado.
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Me ha dado muy buena sugerencia de lo que
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desplazamiento, pero, lamentablemente, no hacen desplazarse
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suficiente esta vez.
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Así puedo eliminar estas cosas, pienso.
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Vaya, he eliminado algo de eso.
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Pero sabes lo que he eliminado.
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OK, así que vamos a tomar la primitiva
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con respecto a y.
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Podrá iniciarlo hasta aquí donde tengo espacio.
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OK, por lo que la primitiva de 2xy con respecto a y es y
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cuadrado más 2, se cancelan de 2.
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Así obtendrá xy cuadrado.
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Y y va de 0 a 4.
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Y luego tenemos la integral exterior a hacer.
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x va de 0 a 3 dx.
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Y cuando es igual a 4 x 16.
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Y entonces cuando 0 y toda la cosa es 0.
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Así que tienes 16 x integrado de 0 a 3 dx.
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¿Y que es igual a qué?
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cuadrado x 8.
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Y se evalúa de 0 a 3.
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Cuando es 3, 8 veces 9 es 72.
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Y 8 veces 0 es 0.
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Por lo que la masa de nuestra figura el volumen--averiguamos última
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tiempo era de 24 metros elevado al cubo.
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Borrado, pero si vieron el último video
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eso es lo que hemos aprendido.
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Pero su masa es de 72 kilogramos.
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Y lo hicimos por integrar esta densidad variable 3
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función--esta función de 3 variables.
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O en tres dimensiones se puede ver como un
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¿campo escalar, correcto?
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En cualquier momento, pero no hay un valor
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realmente una dirección.
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Y ese valor es una densidad.
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Pero integramos el campo escalar en este volumen.
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Eso es tipo de la nueva habilidad con que nos enteramos
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la integral triple.
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Y en el siguiente video te mostraré cómo configurar más
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complicado integrales triples.
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Pero la verdadera dificultad con triples integrales es--y
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Creo que verá que a menudo se hará el profesor de cálculo
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Esto--cuando estás haciendo triples integrales, a menos que tenga una
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figura muy fácil así, la evaluación--si usted realmente
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quería evaluar analíticamente una integral triple que tiene más
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límites complicados o más complejos por ejemplo,
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una función de densidad.
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La integral obtiene muy peludos, muy rápido.
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Y a menudo es muy difícil o muy lentos para
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evaluar analíticamente sólo mediante su tradicional
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habilidades de cálculo.
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Así, verás en un montón de exámenes de cálculo cuando empiezan
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haciendo la integral triple, solo quieren que configurarlo.
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Toman su palabra para lo que has hecho tantos integrales
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hasta el momento que podía tomar la primitiva.
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Y a veces, si realmente quieren darle algo más
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difícil voy sólo dicen, bueno, cambiar el orden.
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Usted sabe, esto es la integral al que estamos tratando con
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respecto a z, entonces y, a continuación, x.
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Queremos volver a escribir cuando integral
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cambiar el orden.
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Y lo haremos en el próximo video.
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Nos vemos luego.
