-
-
-
W ostatnim nagraniu wzięliśmy
ten prostokąt i użyliśmy całki
-
potrójnej do znalezienia jego objętości.
-
Wiem, że prawdopodobnie
pomyślałeś sobie: przecież mogłem
-
po prostu użyć elementarnej geometrii
i pomnożyć wysokość razy
-
szerokość razy głębokość.
-
I masz rację, ponieważ była to
funkcja o wartości stałej.
-
Następnie jeszcze raz liczyliśmy,
całkowaliśmy
-
względem z i skończyliśmy
z całką podwójną, co
-
jest dokładnie tym co robiliśmy
w kilku ostatnich nagraniach,
-
kiedy to uczyliśmy się o
objętości pod powierzchnią.
-
Jednakże później nastąpił moment
zwrotny na końcu nagrania.
-
W porządku, byłeś w stanie obliczyć objętość
-
prostokątnego obszaru bezpośrednio,
-
wykorzystując rzeczy, które już znasz.
-
Ale co jeśli naszym celem nie jest
wyliczenie objętości?
-
Naszym celem było wyliczenie
masy tej objętości, a nawet
-
więcej, masy substancji,
której używamy. Czy to
-
objętość gazu czy ciała stałego.
-
Jego gęstość nie jest stała.
-
Więc teraz masa staje się poniekąd...
jakby to powiedzieć...
-
czymś interesującym do obliczenia.
-
I tak, to co zdefiniowaliśmy
to funkcja gęstości.
-
No i ro, przypominające literkę p
z wygiętym dołem,
-
która określa nam gęstość
w danym punkcie.
-
Na końcu ostatniego nagrania
wspomnieliśmy o tym
-
czym jest masa.
-
Masa to po prostu gęstość razy objętość.
-
Można patrzeć na to w inny sposób.
-
Gęstość to to samo co masa
dzielona przez objętość.
-
Zatem masa wokół bardzo
małego punktu, który zwiemy
-
d masą, różniczka masy, równa się
-
gęstości w tym punkcie lub przybliżonej
gęstości dokładnie w tym
-
punkcie, razy różniczka objętości
wokół tego punktu,
-
razy objętość tego małego sześcianu.
-
Później, tak jak to było w ostatnim
nagraniu, jeśli używasz
-
współrzędnych prostokątnych, to tę
różniczkę objętości można by
-
obliczyć wzorem odległość x razy
odległość y razy odległość z.
-
Zatem gęstość zdefiniowana jest
-
jako x, y i z, a my chcieliśmy znaleźć
-
masę tej objętości.
-
Powiedzmy, że nasze współrzędne
x, y i z – ich
-
wartości, powiedzmy, że są w metrach,
-
a gęstość w kilogramach na metr sześcienny.
-
Więc w tym przypadku nasz wynik
będzie w kilogramach.
-
A to są tradycyjne jednostki układu Si.
-
Obliczmy zatem masę tej
objętości o zmiennej gęstości.
-
Więc wszystko co musimy
zrobić to całkowanie.
-
-
-
Różniczka masy będzie
miała tę wartość,
-
zatem zapiszmy to.
-
-
-
To jest x... Upewnię się, że
wystarczy mi miejsca.
-
xyz razy... scałkuję to
-
najpierw względem dz.
-
Ale sam możesz zamienić kolejność.
-
Zrobimy to może w następnym nagraniu.
-
Najpierw zrobimy dz, później dy,
a na końcu dx.
-
-
-
Raz jeszcze, to jest po prostu
masa w każdej małej
-
różniczce objętości.
-
Jeśli scałkujemy najpierw z,
z będzie skąd?
-
Granice dla z oznaczone od 0 do 2.
-
-
-
Granice dla y oznaczone od 0 do 4.
-
-
-
A granice dla x,
x przebiega od 0 do 3.
-
-
-
Jak to obliczamy?
-
Cóż, jaka jest funkcja pierwotna?
-
Najpierw całkujemy względem z.
-
Więc co jest funkcją pierwotną
xyz względem z?
-
Zobaczmy.
-
To jest tylko stała, więc to
będzie xyz^2 dzielone przez 2.
-
Dobrze?
-
Tak, jest dobrze.
-
Teraz obliczymy to od 2 do 0.
-
Otrzymamy... Wiem,
kończy mi się miejsce.
-
Otrzymamy 2 do kwadratu co daje 4,
-
podzielić przez 2, co daje 2.
-
Więc to będzie 2xy odjąć 0
-
Więc kiedy to obliczysz, otrzymasz 2xy
-
i teraz zostają Ci jeszcze dwie całki.
-
Nie zapisałem pozostałych dwóch całek.
-
Może je zapiszę.
-
Zostały Ci dwie całki.
-
Zostało Ci dy i dx.
-
y idzie od 0 do 4, a x od 0 do 3.
-
Na pewno nie starczy mi miejsca.
-
Teraz bierzesz funkcję pierwotną
-
względem y.
-
Więc jaka będzie funkcja
pierwotna względem y?
-
Pozwól, że wytrę trochę,
żebym się nie pogubił.
-
-
-
Doradzano mi żebym to przewijał,
-
no ale niestety za dużo tym razem
-
nie przewijałem.
-
Mogę to usunąć, tak myślę.
-
Ups, usunąłem trochę tego.
-
Ale wiesz co dokładnie wymazałem.
-
Dobra, weźmy funkcję pierwotną
-
względem y.
-
Zacznę tu gdzie mam wolne miejsce.
-
Dobra, więc funkcja pierwotna
2xy względem y to
-
y^2 dzielone przez 2,
dwójki wykreślamy.
-
Wychodzi xy^2.
-
-
-
A y idzie od 0 do 4.
-
Później mamy jeszcze do
obliczenia zewnętrzną całkę.
-
x oznaczone od 0 do 3 dx.
-
Jeśli y równa się 4, to
otrzymujesz 16x.
-
-
-
Później jeśli y równe jest 0,
to całość równa się 0.
-
Otrzymujesz całkę z 16x
od 0 do 3 dx.
-
A to równa się czemu?
-
8x^2.
-
Obliczasz to od 0 do 3.
-
Kiedy x równa się 3, to
dostajemy 8 razy 9, czyli 72.
-
A 0 razy 8 równa się 0.
-
Więc masa naszej figury...
Objętość jaką obliczyliśmy
-
ostatnim razem wynosiła
24 metry sześcienne.
-
Wytarłem to, ale jeśli
oglądałeś ostatnie nagranie,
-
to było to czego się nauczyliśmy.
-
Ale jego masa wynosi 72 kg.
-
Dokonaliśmy tego poprzez scałkowanie
tej trójwymiarowej funkcji
-
gęstości, tej funkcji o trzech zmiennych.
-
Lub w trzech wymiarach
możesz oglądać to jako
-
pole skalarne, prawda?
-
W dowolnym punkcie
mamy wartość, ale
-
nie mamy kierunku.
-
A tą wartością jest gęstość.
-
Lecz my wprowadziliśmy
pole skalarne w tę objętość.
-
Więc to jest pewna nowa
umiejętność, którą nabyliśmy
-
dzięki całce potrójnej.
-
W następnym nagraniu zaprezentuję
jak poradzić sobie z bardziej
-
skomplikowaną całką potrójną.
-
Prawdziwy problem z potrójną całką to...
-
I myślę, że zobaczysz, że Twój
nauczyciel często będzie to robił.
-
kiedy rozwiązujesz potrójną
całkę, jeśli nie masz
-
prostych figur jak ta, obliczenie –
– jeśli rzeczywiście
-
chciałeś obliczyć analitycznie
potrójną całkę, która ma bardziej
-
skomplikowane granice lub
bardziej skomplikowane np.
-
funkcje gęstości.
-
Całka staję się bardzo
szybko przerażająca.
-
Często jest również bardzo
trudna lub czasochłonna do
-
obliczenia analitycznego
przy użyciu zwykłych
-
umiejętności rachunkowych.
-
Dostrzeżesz to na wielu egzaminach
z analizy, kiedy zaczynają
-
robić potrójne całki, chcą
abyś je tylko przygotował.
-
Biorąc na słowo, że do tej
pory zrobiłeś tak wiele całek,
-
możesz spróbować znaleźć
funkcję pierwotną.
-
Czasami, jeśli naprawdę chcą ci dać coś
-
trudniejszego, powiedzą,
cóż, zmień kolejność.
-
Wiesz, to jest całka, w której
mamy do czynienia
-
z z, później z y, a następnie z x.
-
Chcemy abyś przepisał tę całkę, kiedy
-
zmienisz kolejność.
-
I zrobimy to w następnym nagraniu.
-
Do zobaczenia wkrótce.
-
-
