Üç Katlı İntegral 2

Değişken özgül ağırlığı olan bir kütleyi, üç katlı integral kullanarak bulmak.

-

Bir önceki videoda, şöyle bir dikdörtgenler prizmamız vardı, ve hacmini bulmak için üç katlı integral kullandık.

-

Eminim ki, şöyle düşünüyorsunuz: Temel geometri bilgimi kullanarak, yükseklik çarpı en çarpı boy olarak hacmi bulabilirdim.

-

-

Evet, çünkü fonksiyonumuz, sabit bir fonksiyondu.

Ve, z'ye göre integral aldığımızda, çift katlı bir integral elde ettik. Zaten, önceki videolarda da, yüzey altındaki hacmi hesaplarken, aynı duruma rastlamıştık.

-

-

-

Ama, videonun sonuna bir sürpriz eklemiştik.

Peki, bu dikdörtgen tanım kümesi üzerinde hacmi bulmak kolay.

-

-

Ama, ya amacımız, hacmi değil, kütleyi bulmak olsaydı?

Ve, elimizdeki materyal, bir gaz veya özgül ağırlığı değişen bir madde olsaydı?

-

-

-

Bu durumda, kütleyi bulmak hayli ilginçleşir.

-

Böylece, bir özgül ağırlık fonksiyonu tanımladık.

Bize her noktadaki özgül ağırlığı veren bu fonksiyona, ro, dedik.

-

Bir önceki videonun sonunda, kütle nedir, diye sorduk.

-

Kütle, özgül ağırlıkla hacmin çarpımıdır.

Veya, şöyle düşünebilirsiniz.

Özgül ağırlık, kütlenin hacme bölümüdür.

Buna göre, bir noktadaki kütle diferansiyeli, o noktadaki özgül ağırlık çarpı hacim diferansiyeline eşittir, dedik.

-

-

-

-

Önceki videoda gördüğümüz gibi, Kartezyen koordinat sistemi kullanıyorsak, bu hacim diferansiyeli, dx çarpı dy çarpı dz'ye eşit.

-

-

Özgül ağırlık eşittir x çarpı y çarpı z. Ve, bu cismin kütlesini bulmak istiyoruz.

-

-

x, y, z koordinatlarımızın birimi metre olsun, ve özgül ağırlığımızın birimi de kilogram bölü metreküp olsun.

-

-

Buna göre, cevabımız kilogram cinsinden olacak.

-

Şimdi, bu cismin kütlesini bulalım.

Elimizde zaten bu integral var.

-

Bu değer, kütle diferansiyeli. Onu yazalım.

-

-

xyz çarpı -önce z'ye göre integral alacağım. Aslında, sırayı değiştirebilirsiniz.

-

-

-

Belki bir sonraki videoda öyle yaparız.

Önce z'ye göre integral alalım. Sonra, y'ye göre. En son da x'e göre.

-

Tekrar edersek, bu, herhangi bir hacim diferansiyelindeki kütle.

-

Şimdi, z'ye göre integral alırsak, z kaçtan kaça gidiyordu?

z'nin limitleri 0 ve 2 idi.

-

y'nin limitleri 0 ve 4 idi.

-

x de, 0'dan 3'e gidiyordu.

-

Şimdi, bunun değerini nasıl bulacağız?

z'ye göre integral alırken, terstürev nedir?

-

xyz'nin z'ye göre terstürevi nedir?

Bakalım.

Bu yalnızca bir sabit, dolayısıyla x y z kare bölü 2.

-

Tamam.

Bunu 0'dan 2'ye hesaplayacağız.

-

2 kare, yani 4, bölü 2, bu da 2.

-

2 x y eksi 0.

Bunun değerini bulduğumuzda, 2 x y elde ediyoruz, ve iki integralimiz kalıyor.

-

Diğer iki integrali daha yazmamıştım.

Şİmdi yazayım.

İki integralim daha kalmıştı. dy ve dx.

-

y, 0'dan 4'e gidiyor, ve x, 0'dan 3'e gidiyor.

-

Şimdi bunun y'ye göre terstürevini alayım.

-

-

-

-

-

-

-

Şurayı biraz sileyim.

-

-

Şimdi, y'ye göre terstürev alalım.

-

İşlemi şurada yapayım.

2 x y'nin y'ye göre terstürevi, y kare bölü 2, 2'ler sadeleşir.

-

x y kare.

-

y, 0'dan 4'e gidiyor.

Daha, en dıştaki integrali yapmamız lazım.

x, 0'dan 3'e gidiyor.

y eşittir 4, bize 16 x verir.

-

y 0 olduğunda, burası 0 olur.

Dolayısıyla, 16 x'in 0'dan 3'e integralini alacağız.

Bunun terstürevi nedir?

8 x kare.

0'dan 3'e değerini bulalım.

3'e eşit olduğunda, 8 çarpı 9 eşittir 72.

0 çarpı 8 ise, 0

Cismimizin hacmini, geçen videoda, 24 metreküp bulmuştuk.

-

-

-

Kütlesi de 72 kilogram.

Kütleyi, bu üç değişkenli fonksiyonun integralini alarak bulduk.

-

Üç boyutta, bunu bir skaler alan olarak da düşünebiliriz.

Öyle değil mi?

Herhangi bir noktada, bir sayı elde ediyoruz, ama yön bulmuyoruz.

-

Elde ettiğimiz değer, özgül ağırlık.

Bu skaler alanın integralini almış olduk.

Üç katlı integralle, bu yeni beceriyi edinmiş olduk.

-

Bir sonraki videoda, size daha karışık üç katlı integraller kurmayı öğreteceğim.

-

Eğer şekliniz çok kolay değilse, sınırınız veya fonksiyonununuz karmaşık ise, integraliniz bir anda çok zorlaşabilir.

-

-

-

-

-

-

-

Ve bu integrali, analiz becerinizi kullanarak çözmek, ya çok zor olur veya çok uzun sürer.

-

-

Bu nedenle, analiz sınavlarında, yalnızca üç katlı integrali kurmanız istenir.

-

Yeterince integral aldığınız için, terstürevde problem yaşamayacağınız varsayılır.

-

Ve eğer daha zor bir soru sormak istenirse, işlem sırasını değiştirmeniz söylenebilir.

-

Örneğin, z'ye, ve sonra y'ye, en son da x'e göre integral verilip, sıra değişince bu integralin neye dönüştüğünü yazın, denilebilir.

-

-

-

Bunu bir sonraki videoda yapacağız.

Görüşmek üzere.

-