-
Diferencovatelné funkce x a y
splňují následující rovnici:
-
sin(x) plus cos(y)
se rovná odmocnina ze 2.
-
Dále tu máme zadáno,
že derivace x podle t se rovná 5.
-
Naším úkolem je
spočítat derivaci y podle t,
-
když se y rovná
π lomeno 4
-
a 0 je menší než x, které
je menší než π lomeno 2.
-
Vzhledem k tomu, že máme
zadánu hodnotu derivace x podle t
-
a naším úkolem je spočítat
derivaci y podle t,
-
tak můžeme předpokládat,
že x a y jsou funkce proměnné t.
-
Tuto rovnici bychom
si tak mohli přepsat,
-
a to jako sinus v bodě x,
což je funkce proměnné t,
-
plus kosinus v bodě y,
což je funkce proměnné t,
-
se rovná
odmocnina ze 2.
-
Tohle vás možná
trochu mate,
-
protože nejste zvyklí na to, že by
x byla funkce nějaké třetí proměnné
-
nebo že by y bylo
funkcí něčeho jiného než x.
-
x a y jsou ale
zkrátka proměnné.
-
Mohli bychom tu mít f(t)
a g(t) namísto x(t) a y(t),
-
což by vám možná
přišlo přirozenější.
-
Asi už je vám jasné, že když
chceme spočítat dy lomeno dt,
-
tak musíme obě strany
této rovnice zderivovat podle t.
-
Tak pojďme na to.
-
Musíme zderivovat
levou stranu,
-
což bude derivace
tohohle podle t
-
plus derivace podle t
z tohoto výrazu,
-
a pak musíme
zderivovat pravou stranu,
-
což bude derivace
téhle konstanty podle t.
-
Podívejme se na tyto
derivace jednu po druhé.
-
Jak vypadá...
-
Použiji na to
jinou barvu.
-
Jak vypadá tento
světle modrý výraz?
-
Jak to můžeme
přepsat?
-
Podle t tu derivujeme sinus
něčeho, co je funkce proměnné t,
-
takže použijeme pravidlo
pro derivaci složené funkce.
-
Nejprve spočítáme
derivaci podle x ze sin(x).
-
Mohl bych napsat
sinus v bodě x(t),
-
ale pro jednoduchost to
stejně jako zde zapíšu jako sin(x).
-
Tohle teď musíme vynásobit
derivací vnitřní funkce podle t,
-
tedy krát
derivace x podle t.
-
Toto se možná
intuitivně rozchází s tím,
-
jak jste doteď používali pravidlo pro
derivaci složené funkce jen pro x a y,
-
ale jen tu derivujeme vnější funkci,
tedy sinus něčeho, podle toho něčeho,
-
čímž je v
tomhle případě x,
-
a násobíme to derivací
toho něčeho, tedy x, podle t.
-
Totéž uděláme pro
tento druhý výraz.
-
Bude to derivace podle y
z vnější funkce, tedy z cos(y),
-
kterou musíme následně
vynásobit derivací y podle t.
-
Tohle celé se pak
bude rovnat čemu?
-
Derivace podle t
z konstanty...
-
Odmocnina ze 2 je konstanta,
která se při měnícím se t nemění,
-
takže její derivace, což je
rychlost její změny, se rovná 0.
-
Teď musíme spočítat
všechno tohle.
-
Derivace podle x ze sin(x)
se rovná cos(x).
-
Tohle násobíme derivací x
podle t, což můžu napsat sem.
-
Dále tu máme...
-
Tady by mělo být
znaménko plus.
-
...derivaci y podle t,
-
takže plus
derivace y podle t...
-
Jen prohazuji pořadí v tomto
součinu tak, aby tohle bylo jako první.
-
Čemu se rovná
derivace cos(y) podle y?
-
Je to −sin(y).
-
sin(y) napíšu sem a tady smažu plus
a napíšu místo něj minus.
-
Tohle celé se
má rovnat 0.
-
Co z toho teď
dokážeme zjistit?
-
V zadání máme, že
derivace x podle t se rovná 5.
-
Tady to máme
napsané.
-
Tohle se tudíž
rovná 5.
-
Naším úkolem je spočítat
derivaci y podle t.
-
Víme, čemu se rovná y,
je to π lomeno 4.
-
Tady máme, že
y se rovná π lomeno 4,
-
takže zde bude
π lomeno 4.
-
Pořád nám
zbývá spočítat...
-
Stále neznáme
dvě věci.
-
Nevíme, čemu se rovná x
a čemu je rovna derivace y podle t.
-
Tohle musíme
spočítat.
-
Čemu se rovná x,
když y je π lomeno 4?
-
Abychom to zjistili, vraťme se
k naší původní rovnici.
-
Když se y rovná
π lomeno 4, dostaneme...
-
Napíšu to sem.
-
...sin(x) plus cos(π lomeno 4)
se rovná odmocnina ze 2.
-
Kosinus v bodě
(π lomeno 4)...
-
Když si vzpomeneme na
naši jednotkovou kružnici,
-
tak jde o úhel v prvním kvadrantu,
jehož velikost ve stupních je 45 stupňů,
-
takže to bude odmocnina
ze 2 vydělená 2.
-
Odmocninu ze 2 vydělenou 2 teď
můžeme odečíst od obou stran rovnice,
-
čímž dostaneme,
že sin(x) se rovná...
-
Když od odmocniny ze 2 odečítáme
odmocninu ze 2 vydělenou 2,
-
tak odečítáme jednu její polovinu
a zbyde nám její druhá polovina.
-
Zde tedy bude
odmocnina ze 2 vydělená 2.
-
Pro které x platí,
že sinus z něj...
-
Nezapomeňme, že úhel má
být v prvním kvadrantu.
-
x je v tomto
případě úhel.
-
Bude to opět
π lomeno 4.
-
Z tohoto nám tedy plyne,
že x se rovná π lomeno 4,
-
když je y rovno
π lomeno 4.
-
Víme tak, že i zde
bude π lomeno 4.
-
Raději teď tento výraz celý přepíšu,
protože už to začíná být nepřehledné.
-
Víme, že 5 krát cos(π lomeno 4)
minus (dy lomeno dt),
-
tedy derivace y podle t,
což je to, co chceme spočítat,
-
krát sin(π lomeno 4)
se rovná 0.
-
Ještě sem dopíšu závorky,
aby to bylo přehlednější.
-
Teď už musíme
použít jen trochu algebry.
-
Už víme, že cos(π lomeno 4) je
odmocnina ze 2 vydělená 2.
-
sin(π lomeno 4) je také
odmocnina ze 2 vydělená 2.
-
Co kdybychom teď obě strany rovnice
vydělili odmocninou ze 2 vydělenou 2?
-
Co nám vyjde?
-
(Odmocnina ze 2 vydělená 2) děleno
(odmocnina ze 2 vydělená 2) se rovná 1.
-
(Odmocnina ze 2 vydělená 2) děleno
(odmocnina ze 2 vydělená 2) se rovná 1.
-
0 děleno (odmocnina ze 2 vydělená 2)
bude pořád rovno 0.
-
Rovnice se tak zjednoduší
na 5 krát 1, což je 5,
-
minus derivace y podle t
se rovná 0.
-
A už to
máme.
-
Když totiž k oběma stranám
rovnice přičteme derivaci y podle t,
-
tak dostaneme, že
derivace y podle t se rovná 5.
-
Je to za předpokladu, že platí
všechny tyto podmínky,
-
tedy když je derivace x podle
t rovna 5 a když je derivace...
-
A když se y rovná
π lomeno 4.
Khan Academy
