Proof: log a + log b = log ab

Olá.

Vamos trabalhar nas propriedades de logaritmos.

Vamos rever rapidamente o que é um logaritmo.

Então, se eu escrever, o log de A na base X é

igual a, não sei, vamos inventar uma letra, N.

O que isso significa?

Bem, isso só quer dizer que X elevado a N é igual a A.

Acho que já sabemos disso.

Já aprendemos isso no video do logaritmo.

Então, é importantissimo perceber que quando se evalia

uma expressão logarítmica, como log de A na base X, a resposta

quando se evalia, o que você ganha, é um expoente.

Este N é realmente apenas um expoente.

Isto é igual a esta coisa.

Você poderia escrever assim.

Poderia, porque N é igual a isso, poderia

apenas escrever X, vai ser um pouco desorganisado, elevado ao log

de A na base X é igual a A.

Tudo o que eu fiz é que eu tomei este N e substitui-o por este termo.

E eu queria escrever assim porque quero que você

realmente ganhe uma compreenção intuitiva da noção

que um logaritmo, quando você o avalia , ele é

realmente um expoente.

Vamos aproveitar esta noção.

As propriedades de logaritmo vem, na verdade,

dessa noção.

Então, deixa-me fazer - na verdade o que eu quero fazer é, eu

quero encontrar as propriedades de logaritmo

brincando ao redor.

E, mais tarde, vou resumir e depois

limpar tudo.

Mas eu quero mostrar como as pessoas talvez originalmente

discobriram este coisa.

Bem, vamos dizer que X, deixe-me trocar de cores.

Eu acho que isso mantém as coisas fiquem interessantes.

Bem, vamos dizer que X elevado a L é igual a A.

Bem, se formos escrever isso como um logaritmo, a mesma

relação como um logaritmo, poderíamos escrever que o log de A

na base X é igual a L, correto?

Eu apenas reescrevi o que eu já havia escrito na primeira linha.

Agora, deixe-me trocar de cores.

E se eu dissesse que X elevado a M é igual a B,

é a mesma coisa, eu somente troquei de letras.

Mas isso só significa que o loq de B na base X é

igual a M, correto?

Acabo de fazer a mesma coisa que fiz nesta linha,

só troquei de letras.

Então, vamos continuar assim e ver o que acontece.

Digamos, deixe-me pegar uma outra cor.

Então, digamos que tenho X elevado a N, e você diz, Sal, aonde

isso tudo vai?

Mas você verá.

É bastante legal. X elevado a N é igual a A vezes B.

X elevado a N é igual a A vezes B.

E isso é exatamente como dizer que log na base X

seja igual a A vezes B.

O que podemos fazer com tudo isso?

Bem, vamos começar com isso aqui mesmo.

X elevado a N é igual a A vezes B.

Então como podemos escrever isso?

Bem, A é isso.

E B é isso, correto?

Então escrevemos isto.

Sabemos que X elevado a N é igual a A.

A é isto.

X elevado a L.

X elevado a L.

E o que é B?

vezes B.

Bem, B é X elevado a M, correto?

Não estou fazendo nenhuma extravagância.

Mas o que é X elevado a L vezes X elevado a M?

Bem, sabemos dos expoentes, quando se multiplica

duas expressões que têm a mesma base e expoentes

diferentes, apenas adiciona-se os expoentes.

Então isso é, deix-me escolher uma cor neutra.

Não sei se eu disse isso verbalmente correto, mas

você entende.

Quando se tem a mesma base e multiplica, pode-se

apenas adicionar os expoentes.

Isso é igual a, quero continuar trocando entre as cores, porque

acho útil.

L, L mais M.

Trocar entre as cores é um pouco oneroso, mas.

Você entende o que estou dizendo.

Então, X elevado a N é igual a X elevado a L mais M.

Deixa eu colocar X aqui.

Oh, queria que isso fosse verde.

X elevado a L mais N.

E que sabemos?

Sabemos que X elevado a N é igual a X elevado a L mais M.

Correto?

Bem, temos a mesma base.

Estes expoentes têm que ser iguais.

Então sabemos que N é igual a L mais M.

O que isso faz para nós?

Já brinquei um pouco com logaritmos.

Estou chegando a algo?

Acho que você vê que estou.

Bem, qual é uma outra maneira de escrever N?

Então dissemos, X elevado a N é igual a A vezes B -- oh, eu

atualmente saltei uma etapa aqui.

Isso quer dizer -- então, faço uma volta aqui, X elevado a N

é igual a A vezes B.

Isso quer dizer que o log de A vezes B na base X é igual a N.

Você já sabia disso.

Eu não.

Espero que você não perceba que estou fazendo uma volta.

Apenas esqueci de escrever isso quando fiz no início.

Mas tanto faz.

Então, o que é N?

Qual é uma outra maneira de escrever N?

Bem, uma outra maneira de escrever N é aqui mesmo.

Log de a vezes b na base X.

Agora sabemos que se apenas substituirmos N por isto, nós

achamos o log de A vezes B na base X.

E o que é isso?

Isso é igual a L.

Uma outra maneira de escrever L é aqui em cima.

É igual ao log de A na base X mais M.

E o que é M?

M está aqui mesmo.

Então log de B na base X.

I aqui temos nossa primeira propriedade logarítmica.

O log de A vezez B na base X -- bem, isso é simplesmente igual ao log

de A na base X mais o log de B na base X.

E isso, espero, prova aquilo a você.

e se você quiser a intuição da razão que isso funciona, isso vem

do fato que logaritmos não são nada mais do que expoentes.

Então, com isso, eu deixo você com este video.

E no próximo, vou provar uma outra

propriedade logarítmica.

Até logo.