-
Döntsük el, hogy az alábbi
számok közül
-
melyik prím, melyik összetett,
és melyik egyik sem.
-
Ismételjünk egy kicsit:
-
a prímszám olyan pozitív egész szám
-
– 1, 2, 3, 4, 5, 6 és így tovább –,
-
aminek pontosan két osztója van,
az 1 és önmaga.
-
Például a 3 prímszám,
-
mert csak két olyan pozitív
egész szám van,
-
amivel a 3 osztható,
az 1 és a 3.
-
Vagy úgy is fogalmazhatunk,
-
hogy a 3 csak egyféleképpen
írható fel
-
pozitív egész számok szorzataként,
úgy, hogy 1 ⋅ 3.
-
Tehát csak az 1 és önmaga
az osztója.
-
Az összetett szám
olyan pozitív egész szám,
-
aminek kettőnél több osztója van,
nem csak az 1 és önmaga.
-
Nézünk példákat erre,
-
és arra is, hogy se nem prím,
se nem összetett,
-
lesz egy ilyen is
ebben a feladványban.
-
Nézzük először a 24-et.
-
Keressük meg az összes
pozitív egész számot
-
– vagy természetes számot,
-
de a természetes számok
halmazába a 0 is beletartozik –,
-
az összes pozitív egész számot,
-
amivel osztható a 24
maradék nélkül.
-
Ezeket tekintjük osztóknak.
-
Nos, biztosan osztható
1-gyel és 24-gyel,
-
mert 1 ⋅ 24 = 24.
-
De 2-vel is osztható,
-
2 ⋅ 12 = 24,
-
és akkor 12-vel is osztható.
-
A 24 osztható 3-mal is,
-
3 ⋅ 8 = 24,
tehát 8-cal is osztható.
-
Nem is kell megkeresni
az összes osztót,
-
hogy megállapítsuk,
hogy ez nem prím.
-
Világos, hogy több osztója van,
mint az 1 és önmaga,
-
úgyhogy egyértelmű,
hogy összetett szám lesz,
-
a 24 összetett szám.
-
De ha már elkezdtük,
keressük meg az összes osztót.
-
Néggyel is osztható,
4 ⋅ 6 az 24.
-
Ideírom a 4-et és a 6-ot is.
-
Tehát ezek a 24 osztói.
-
Kettőnél több osztója van,
nem csak az 1 és a 24.
-
Most nézzük meg a kettőt.
-
Azok a pozitív egész számok,
amik megvannak a 2-ben,
-
az 1 és a 2, mert 1 ⋅ 2 = 2.
-
De más szám nem osztója a 2-nek,
-
vagyis csak két osztója lesz,
az 1 és önmaga.
-
Ez pedig éppen
a prímszám definíciója,
-
tehát a 2 prímszám.
-
A 2 azért érdekes, mert
ez az egyetlen páros prímszám.
-
Ez józan ésszel is belátható,
-
hiszen minden páros szám
osztható kettővel.
-
A 2 osztható kettővel,
emiatt páros szám.
-
De csak a kettővel és az eggyel osztható,
emiatt pedig prímszám.
-
Az összes többi páros szám
osztható lesz
-
eggyel, önmagával és kettővel.
-
A többi páros számnak osztója lesz
az 1, önmaga és még egy szám,
-
vagyis összetett szám lesz.
-
Tehát a 2 prímszám,
-
az összes többi páros szám
viszont összetett szám.
-
Itt pedig egy érdekes eset, az 1.
-
Az 1 csak 1-gyel osztható,
-
így aztán nem lehet prím.
-
Mivel csak az 1 az osztója,
nincs két osztója.
-
Az 1-nek önmaga is 1,
de ahhoz hogy prím legyen,
-
pontosan két osztójának
kellene lennie.
-
Az 1-nek csak egy osztója van.
-
Ahhoz, hogy összetett szám legyen,
-
kettőnél több osztójának
kellene lennie,
-
1, önmaga és még valami.
-
Tehát az 1 nem összetett szám.
-
Az 1 akkor egyik sem.
-
És a végén itt van még a 17.
-
A 17 osztható 1-gyel és 17-tel,
-
nem osztható a 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
-
számok egyikével sem.
-
Úgyhogy pontosan két osztója van,
az 1 és önmaga,
-
vagyis a 17 prímszám.
