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En el último vídeo, vimos que si un campo vectorial puede ser
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escrito como el gradiente de un campo escalar-- u otra
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forma de decirlo es: esto sería igual a la derivada parcial de nuestra
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F grande respecto a x multiplicado por i, más la derivada parcial de F grande, nuestro
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campo escalar respecto a y multiplicado por j; y simplemente estoy escribiéndolo
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en múltiples maneras para que recordéis lo que es el gradiente
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--pero vimos que si nuestro campo vectorial es el gradiente de
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un campo escalar, entonces lo llamamos conservativo.
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Eso nos dice que f es un campo vectorial conservativo.
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Y también nos dice, y ésta fue la parte mas importante respecto
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al vídeo anterior, que la integral de línea de f entre dos
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puntos-- permitidme dibujar dos puntos aquí; así que permitidme dibujar mis
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coordenadas sólo para indicar que estamos en el plano xy.
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Mis ejes: eje-x, eje-y.
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Digamos que tengo un punto, tengo ese punto y ese punto,
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y tengo dos trayectorias diferentes entre dichos puntos.
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Así que tengo la trayectoria 1, que va como algo así, y le
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llamaré c1 y va dirigido en esa dirección.
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Y también tengo, quizá en otro tono de
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verde, c2 que va de esta forma.
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Los dos empiezan aquí y van allí.
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Aprendimos en el último vídeo que la integral de línea
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es independiente de la trayectoria entre dos puntos.
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Así que en este caso la integral de línea a lo largo de c1 de f punto dr
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va a ser igual a la integral de línea de c2, a lo largo de la
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trayectoria c2, de f punto dr. Si tenemos un potencial en
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la región, y podemos estar en todos puntos, entonces la integral
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de línea entre dos puntos es independiente de la trayectoria.
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Eso es lo bueno de un campo conservativo.
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Ahora lo que quiero hacer en este vídeo es ser un poco
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mas extensivo de lo que vimos en el último vídeo.
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En realidad es una extensión muy importante; puede que ya
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os parezca obvia.
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Ya he escrito esto aquí; Podría reordenar
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la ecuación un poco.
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Permitidme hacerlo.
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Permitidme reordenar esto.
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Reescribiré esto en naranja.
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Entonces la integral a lo largo de la trayectoria c1 de f punto dr menos-- Simplemente
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resto esto de ambos lados --menos la integral c2 de
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f punto dr va a ser igual a 0.
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Todo lo que hecho es coger lo mas relevante del ultimo vídeo y
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le resté esto en ambos lados.
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Ahora bien, aprendimos hace unos cuantos vídeos que si restamos tratando con una
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integral de línea de un campo vectorial-- no de un campo escalar
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--con un campo vectorial, la dirección de la
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trayectoria es importante.
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Aprendimos que la integral de línea sobre, digamos, c2 de f producto punto
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dr, es igual a menos la integral de línea de menos c2
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de f punto dr, donde menos c2 denota la misma trayectoria que
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c2, pero en dirección contraria.
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Por ejemplo, menos c2 la escribiría algo así-- permitidme
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hacerlo en distinto color --digamos entonces que esto es menos
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c2, sería una trayectoria como c2-- voy a llamarla
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menos c2 --pero en lugar de ir en esa dirección, voy ahora
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en esa dirección.
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Así que ignorad las antiguas flechas de c2.
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Empezamos ahora allí y venimos hacia aquí.
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Esto es menos c2.
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O podríamos escribir, podríamos poner, el menos en el otro
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lado y podríamos decir que la integral negativa de la c2
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a lo largo de la trayectoria c2 de f punto dr es igual a
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la integral de línea a lo largo de la trayectoria inversa de f punto dr. Todo lo que he hecho es
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cambiar el menos al otro lado; multiplicar
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ambos lados por menos 1.
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Reemplacemos entonces-- en esta ecuación tenemos menos
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de la trayectoria c2; tenemos eso ahí bien, y tenemos eso allí bien
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--así que podríamos simplemente sustituir esto con
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esto aquí mismo.
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Permitidme hacer eso.
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Escribiré primero esta parte.
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La integral a lo largo de la curva c1 de f por dr, en lugar de
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menos la integral de línea a lo largo de c2, voy a decir más la
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integral a lo largo de menos c2.
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Esto-- permitidme cambiar al verde --esto que hemos establecido
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es lo mismo que esto.
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Menos esta curva, o la integral a lo largo de este
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camino, es lo mismo que la integral de línea, más la
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integral de línea a lo largo del camino inverso.
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Diremos que más la integral de línea de menos c2 de
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f por dr es igual a 0.
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Ahora hay algo interesante.
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Miremos qué es la combinación de los caminos
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c1 y menos c2.
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c1 empieza por aquí.
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Permitidme utilizar un color bonito, vibrante.
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c1 empieza por aquí en este punto.
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Se mueve desde este punto a lo largo de la curva c1
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y llega a este punto.
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Y entonces hacemos menos c2.
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Menos c2 empieza en este punto y simplemente avanza y vuelve
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al punto original; se completa una vuelta.
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Por tanto esto es una integral a lo largo de una curva cerrada.
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Si combinamos esto, podríamos reescribirlo así.
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Recordad, es simplemente una vuelta.
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Haciendo el inverso de esto, en lugar de tener dos chicos empezando aquí
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y yendo allí, ahora puedo empezar aquí, ir por allí,
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y entonces volver todo el camino por
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el camino inverso de c2.
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Por tanto esto es equivalente a la integral a lo largo de la línea cerrada.
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Y es lo mismo que ella integral a lo largo de un camino cerrado.
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Quiero decir, podríamos llamar al camino cerrado, quizás, c1 más
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menos-c2, si quisiéramos ser precisos sobre
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el camino cerrado.
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Pero esto podría ser, señaló a c1 y c2 o menos c2 arbitrariamente;
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esto podría ser cualquier camino cerrado donde nuestro vector de campo f tiene un
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potencial, o donde es el gradiente de un campo escalar
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o cuando sea conservador.
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Y lo que este puede ser escrito como un camino cerrado de c1 más el
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reverso de c2 de dr de punto f.
Eso es sólo una reescritura
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de eso y eso va a ser igual a 0.
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Y este es nuestro take away para este video.
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Esto es, puede verlo como un corolario.
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Es tipo de una conclusión de bajas que puede hacer
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Después de esta conclusión.
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Así que ahora sabemos que si tenemos un vector de campo que tiene el
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gradiente de un campo escalar en alguna región, o tal vez sobre la
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plano xy todo--y esto se llama el potencial de f;
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Esta es una función potencial.
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A menudo será el negativo de la misma, pero es fácil
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se metiera con negativos--pero si tenemos un campo vectorial
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el gradiente de un campo escalar, llamamos a ese vector
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campo conservador.
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Nos dice en cualquier punto de la región donde esto es
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es válido, de la línea integral de un punto a otro
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independiente de la trayectoria; eso es lo que recibimos de
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el último video.
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Y por eso, un bucle cerrado línea integral o una cerrada
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línea integral, por lo que si tenemos algún otro lugar, si tomamos
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cualquier otro integral de línea cerrada o tome la línea integral de
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el campo vectorial en cualquier lazo cerrado, se convertirá en 0 porque
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es independiente de la ruta de acceso.
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Eso es puro llevar aquí, que si sabes que
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Esto es conservador, si has visto algo como esto:
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Si ves este dr de punto f y alguien le pide evaluar
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Este dado que f es conservador, o dado que f
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es el gradiente de otra función, o dado que f es
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ruta independiente, puede ahora inmediatamente decir, que va
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ser equivalente a 0, lo cual simplifica bastante el cálculo.
