Area between curves with multiple boundaries

В това видео искам да намеря
площта на тази област,

която оцветявам в жълто.

Това изглежда доста трудно,
защото в тази област

изглежда долната функция
е една и съща –

долната граница е
y = x^2/4 –1,

но имаме различна горна граница.

Начинът, по който можем
да се справим с това,

е като разделим областта
на две части,

или да я разделим на две
подобласти, областта отляво,

и областта отдясно,

където тази първа област,
която аз

ще оцветя даже още повече в жълто –
тази първа област

ето тук в целият този
интервал за х.

Изглежда така, сякаш х е
между 0 и 1.

у е равно... когато х = 1,
тази функция е равна на 1.

Когато х = 1, тази функция
също е равна на 1.

Значи това е точката (1; 1).

Тук се пресичат.

За тази област, тази
подобласт ето тук,

у равно на корен квадратен от х
е горната граница през цялото време.

И после имаме...
можем да направим

можем отделно да разгледаме

площта на тази област.

От х = 1 до х = 2,

където у = 2 – х е горната функция.

Да го направим.

Първо да разгледаме тази област

Това е определен интеграл

от х = 0 до х = 1.

Горната ни функция е квадратен
корен от х.

От това ще извадим
долната функция –

квадратен корен от х
минус (х^2/4 – 1).

И накрая имаме dх.

Това описва тази жълта област.

Вероятно се досещаш, че
в тази част ето тук,

разликата между тези
две функции

е всъщност тази височина.

Ще го оцветя с друг цвят.

И после умножаваме по dх.

Имаме малък правоъгълник
с широчина dх.

И правим това за всяко х.

Всяко х е различен
правоъгълник.

И после ги сумираме.

И взимаме границата, когато
промяната на х клони към 0.

Това са супер, супер тънки
правоъгълници,

безкрайно много такива.

Това е нашето определение
или Римановото определение

какво представлява
определен интеграл.

Значи това е областта отляво.

По същата логика можем
да намерим площта на тази част.

Областта отдясно –
и после просто събираме двете.

Дясната област е
от х = 0 до...

извинявам се, от х = 1 до х = 2.

Горната функция е 2 – х.

От нея вадим долната функция,

х^2/4 – 1.

И сега просто трябва
да ги сметнем.

Да опростим това тук.

Това е равно на определен интеграл

от 0 до 1 от квадратен корен от х
минус х^2/4 – 1, dх.

Ще запиша всичко с един цвят.

Плюс определен интеграл
от 1 до 2 от 2 минус х,

минус х^2/4.

Изваждаме отрицателно, значи
става положително 3, т.е. +1.

Можем да го прибавим към това 2.

И това 2 става 3.

Казах, че 2 минус –1 е 3, dх.

И сега трябва само да намерим
примитивната функция

и да я сметнем от 1 до 0.

Примитивната функция от това...

това е х на степен 1/2.

Увеличаваме го с 1.

Увеличаваме степенния показател
с 1, става х на степен 3/2.

Това умножаваме по
реципрочната стойност

на новия степенен показател –
значи 2/3х^(3/2).

Минус... примитивната функция
на х^2/4

е х^3 върху 3, делено на 4,
значи делено на 12,

плюс х.

Това е примитивната
функция на първия интеграл.

Ще сметнем за 1 и 0.

После за втория интеграл
примитивната функция

ще бъде 3х – х^2/2 – х^3/12.

Още веднъж го изчисляваме...
всъщност не отново.

Сега ще го изчислим
за 2 и за 1.

Тук ще сметнем
това за х= 1.

Става 2/3 минус 1/12 плюс 1.

После от това вадим
това, сметнато за 0.

Но това е просто нула,
така че не получаваме нищо.

Ето до това се опростява
жълтия израз.

Сега виолетовият израз
или този в цикламено,

или пепел от рози, както искаш
наречи цвета, смятам го първо за 2.

Получаваме 6 минус... да видим,
2^2/2 е 2, минус 8/12.

И от това ще извадим
този израз, сметнат за х = 1.

Става 3 по 1, това е 3,
минус 1/2, минус 1/12.

И накрая ни остава да съберем
тези дроби.

Да видим как ще стане.

12 изглежда най-очевидният
общ знаменател.

Тук става 8/12 – 1/12 + 12/12.

Това се опростява до колко?

Това са 19/12, частта в жълто.

Сега да сметна това с
подходящия цвят.

Значи 6 минус 2, което е 4.

Можем да го представим
като 48/12, което е 4, минус 8/12.

И сега трябва да извадим 3,
което е 36/12.

Това събираме с 1/2,
което е 6/12.

И после прибавяме 1/12.

Всичко това се опростява до...
да видим, 48 –8 е 40,

минус 36 е 4, плюс 6 е 10,
плюс 1 е 11.

Значи това става 11/12.

Да видим дали
го направих правилно.

48 минус 8 е 40,
минус 36 е 4, 10,11.

Изглежда правилно.

И сега да съберем тези двете.

19 плюс 11 е 30/12.

Ако искаме малко да опростим,

можем да разделим числителя
и знаменателя на 6.

Това е равно на 5/2, или 2 и 1/2.

И сме готови.

Намерихме площта
на цялата тази област.

И тя е 2 и 1/2.