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Area between curves with multiple boundaries

  • 0:00 - 0:03
    이 동영상에서 알아 볼 내용은
  • 0:03 - 0:07
    노란색으로 칠하는 부분의
    면적을 구하는 문제입니다
  • 0:07 - 0:10
    이 문제는 좀 어려워 보입니다
  • 0:10 - 0:13
    왜냐하면 면적의 아랫부분은
    하나의 함수로만 이루어져서
  • 0:13 - 0:17
    y = x²/4 - 1 의 그래프 하나만
    생각하면 되지만
  • 0:17 - 0:19
    윗부분은 두 개의
    함수로 이루어져 있기 때문입니다
  • 0:19 - 0:21
    이 문제를 풀기 위해서는
  • 0:21 - 0:23
    이 영역을 두 부분으로 나누거나
  • 0:23 - 0:27
    왼쪽, 오른쪽 두 영역으로 나누는
    방법을 써야 합니다
  • 0:27 - 0:31
    여기 더 노란색으로 칠하는
    첫번째 영역에서
  • 0:31 - 0:34
    x의 범위를 생각해 봅시다
  • 0:34 - 0:36
    이 영역의 x의 범위는
  • 0:36 - 0:40
    0에서 1사이인 것 같네요
  • 0:40 - 0:44
    x가 1일 때 이 함수의 y 값은 1이고
  • 0:44 - 0:47
    이 함수 역시 x = 1일때
    y 값이 1이 됩니다
  • 0:47 - 0:49
    이 점의 좌표는 (1,1)이 되겠죠
  • 0:49 - 0:50
    이 곳에서 영역이 나뉘어 집니다
  • 0:50 - 0:53
    여기 있는 이 부분은
  • 0:53 - 0:57
    영역의 윗부분이
    y = √x 입니다
  • 0:57 - 0:59
    전체 영역을 이제 두 부분으로 나눠서
  • 0:59 - 1:05
    문제를 풀어 보겠습니다
  • 1:05 - 1:09
    x의 범위가
    1에서 2까지인
  • 1:09 - 1:10
    이 부분은 윗부분이
    y = 2 - x 함수입니다
  • 1:10 - 1:12
    한 번 풀어봅시다
  • 1:12 - 1:15
    첫번째 영역을 먼저 생각해 보면
  • 1:15 - 1:20
    구간 0에서 1까지의 정적분
  • 1:20 - 1:32
    위에 있는 함수 √x 에서
    아랫부분에 있는 함수 x²/4 - 1을 빼줘야 합니다
  • 1:32 - 1:39
    따라서 x가 0에서 1까지
    ∫(√x - ( x²/4 - 1))
  • 1:39 - 1:42
    이곳에 dx가 있어야 하겠죠
  • 1:42 - 1:46
    이 식은 이 노란색 부분의 면적을
    나타내는 식입니다
  • 1:46 - 1:51
    이 영역에서 두 함수의 함수값 차이는
  • 1:51 - 1:55
    실제로 이 높이가 됩니다
  • 1:55 - 1:58
    다른 색으로 표시해 보겠습니다
  • 1:58 - 2:00
    이 높이에
    x의 변화율 dx를 곱하면
  • 2:00 - 2:03
    dx의 폭을 가진 직사각형의 넓이를
    구할 수 있습니다
  • 2:03 - 2:07
    이 직사각형을 각각의 x에 대해
    그려주면
  • 2:07 - 2:09
    서로 다른 크기의 직사각형을
    얻을 수 있습니다
  • 2:09 - 2:11
    그 넓이를 모두 더하면 전체 영역의
    넓이가 됩니다
  • 2:11 - 2:15
    그리고 x의 변화율을
    0에 가까운 극한으로 보내면
  • 2:15 - 2:17
    극도로 얇은 모양의 직사각형들을
    얻을 수 있습니다
  • 2:17 - 2:18
    직사각형의 갯수는 무한개가 됩니다
  • 2:18 - 2:23
    이것이 바로 리만의 정의 혹은
    정적분의 정의 입니다
  • 2:23 - 2:25
    이 식은 왼쪽 부분의 넓이 입니다
  • 2:25 - 2:29
    같은 원리로 오른쪽 부분의 넓이도
    구할 수 있습니다
  • 2:29 - 2:32
    오른쪽 부분의 넓이를 구하는 식을
    여기에 더하면 전체 넓이를 알 수 있습니다
  • 2:32 - 2:36
    오른쪽 부분의 넓이는
    x가 0에서 , 아니죠
  • 2:36 - 2:39
    x가 1에서 2사이 입니다
  • 2:39 - 2:42
    윗부분 함수는 2-x
  • 2:42 - 2:52
    여기에서 아랫부분의 함수
    x²/4 - 1을 빼주면 됩니다
  • 2:52 - 2:54
    x는 1에서 2까지
    ∫(2 - x - ( x²/4 - 1) )dx
  • 2:54 - 2:56
    계산을 해 보겠습니다
  • 2:56 - 2:59
    먼저 이 식을 간단히 해 봅시다
  • 2:59 - 3:12
    x는 0에서 1까지
    ∫(√x - x²/4 + 1) dx
  • 3:12 - 3:13
    이 식에 더하기
  • 3:13 - 3:22
    1에서 2까지
    ∫(2 - x - x²/4
  • 3:22 - 3:26
    - (-1)은 +1과 같으므로
  • 3:26 - 3:29
    2에 1을 더하면 3
  • 3:29 - 3:35
    ∫(3 - x - x²/4) dx 라는 식이 됩니다
  • 3:35 - 3:42
    적분을 풀어서
    0에서 1까지의 면적을 구해봅시다
  • 3:42 - 3:45
    √x는 x의 1/2 제곱이므로
  • 3:45 - 3:48
    지수가 1 증가하면
    x의 3/2제곱이 되고
  • 3:48 - 3:50
    새로운 지수의 역수를
    앞에 곱해줘야 하므로
  • 3:50 - 3:54
    2/3x^3/2이 됩니다
  • 3:54 - 3:59
    x²을 적분하면 x³이 되고
  • 3:59 - 4:03
    3으로 나눠주는데 이미 1/4가 있으므로
    12로 나눠줍니다
  • 4:03 - 4:04
    여기에 더하기 x
  • 4:04 - 4:07
    이것은 1을 적분한 것이죠
  • 4:07 - 4:10
    이 값을 0에서 1까지 구합니다
  • 4:10 - 4:12
    두번째 식은 적분하면
  • 4:12 - 4:23
    (3x - x²/2 - x³/12)가 되고
  • 4:23 - 4:28
    이 값을 1에서 2까지 구하면 됩니다
  • 4:28 - 4:31
    여기에 1을 대입하면
  • 4:31 - 4:36
    (2/3 - 1/12 +1) 이 되고
  • 4:36 - 4:41
    0을 대입한 값을 빼야 하는데
    그 값이 0이므로
  • 4:41 - 4:45
    이렇게 간단히 할 수 있습니다
  • 4:45 - 4:58
    이 부분은 2를 대입하면 6이 되고
    2의 제곱을 2로 나누면 2,
  • 4:58 - 5:03
    여기에 8/12를 빼면 됩니다
  • 5:03 - 5:06
    이 계산 결과에서
    x가 1일 때의 값을 빼 줍니다
  • 5:06 - 5:09
    1을 넣으면
    3 X1 = 3이므로
  • 5:09 - 5:15
    (3 - 1/2 - 1/12)
  • 5:15 - 5:19
    이제 분수 계산만 잘 하면 됩니다
  • 5:19 - 5:22
    여기서는 12가 최소 공배수가 되겠죠
  • 5:22 - 5:29
    (8/12 - 1/12 + 12/12) 가 되고
  • 5:29 - 5:31
    답은 뭘까요?
  • 5:31 - 5:37
    19/12 입니다
    여기 노란색 부분의 면적입니다
  • 5:37 - 5:43
    그리고 6 - 2 = 4
  • 5:43 - 5:51
    따라서 이 식은
    48/12 - 8/12 로 쓸 수 있겠죠
  • 5:51 - 5:57
    3은 36/12로 고쳐서 빼 줍니다
  • 5:57 - 6:02
    1/2 은 6/12가 되고
  • 6:02 - 6:06
    여기에 1/12를 더하겠습니다
  • 6:06 - 6:15
    48 - 8 = 40이고
    여기서 36을 빼면 4
  • 6:15 - 6:18
    더하기 6은 10
    더하기 1은 11
  • 6:18 - 6:22
    따라서 답은 11/12 가 됩니다
  • 6:22 - 6:24
    맞게 계산했는지 검토해 봅시다
  • 6:24 - 6:29
    48 - 8 = 40
    40 - 36 = 4, 10, 11
  • 6:29 - 6:30
    맞습니다
  • 6:30 - 6:32
    이 두 값을 더해야 합니다
  • 6:32 - 6:36
    19 + 11 = 30
    따라서 30/12이 됩니다
  • 6:36 - 6:38
    약분이 필요하겠네요
  • 6:38 - 6:41
    분자와 분모를 6으로 나누면
  • 6:41 - 6:45
    5/2,
    혹은 2와 1/2이 됩니다
  • 6:45 - 6:47
    답이 나왔습니다
  • 6:47 - 6:51
    전체 영역의 넓이는
  • 6:51 - 6:53
    2와 1/2입니다
Title:
Area between curves with multiple boundaries
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:54

Korean subtitles

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