Area between curves with multiple boundaries

Co chcę zrobić w tym filmie,
to znaleźć pole tego obszaru,

który maluję na żółto.

I co może okazać się wyzwaniem,
to to, że przez ten obszar

mam tu pewną dolną funkcję.

I jak się zdaje,
dolne ograniczenie to y

równy x do kwadratu
przez 4 odjąć 1.

Ale mam inne ograniczenie górne.

I sposób w jaki możemy
sobie z tym poradzić

to podział tego pola
na dwie części,

czy też tego obszaru
na dwa obszary, na obszar po lewej

stronie i obszar po
prawej stronie, gdzie

dla pierwszego obszaru,
który zrobię -

nawet więcej pokoloruję na żółto -
dla tego pierwszego obszaru

dla całego przedziału dla x.

I wygląda na to,
że x znajduje się między 0 i 1.

y jest równy - gdy x jest równy 1,
to ta funkcja wynosi 1.

Gdy x jest równy 1, to
ta funkcja także jest równa 1.

Czyli to jest punkt 1 przecinek 1.

Tu się nakładają.

Więc ta sekcja,
ten podobszar,

y równy pierwiastek z x jest
funkcją ograniczającą z gówy

cały czas. I możemy mieć
- pokolorujmy inaczej -

możemy osobno zabrać się
za znalezienie

pola tego obszaru.

Od x równego 1
do x równego 2,

gdzie y równe 2 odjąć x,
jest górnym ograniczeniem.

Zróbmy to.

Pomyślmy wpierw
o tym obszarze.

Więc, to będzie całka
oznaczona od x równego 0

do x równego 1.

A nasze górne ograniczenie to pierwiastek
z x, tak więc pierwiastek z x.

A teraz od tego chcemy
odjąć naszą niższą funkcję;

pierwiastek z x odjąć x
do kwadratu przez 4 odjąć 1.

I oczywiście mamy nasze dx.

Więc to po prawej , to
opisuje żółte pole.

I jak można się domyśleć,
że ta o to część,

różnica między tymi
dwoma funkcjami

jest w istocie tą wysokością.

Pomaluję to na inny kolor.

A teraz mnożymy to przez dx.

Otrzymujemy niewielki
prostokąt o szerokości dx.

I robimy to dla każdego x.

Dla każdego x
otrzymujemy inny prostokąt.

Następnie je wszystkie sumujemy.

Zbiegamy zmianą
x do zera.

Czyli otrzymujemy super
super cienkie prostokąty

i mamy ich nieskończoną liczbę.

I to jest nasza definicja,
lub definicja Riemanna

czym jest całka oznaczona.

Czyli to jest pole lewego obszaru.

I rozumując identycznie,
możemy znaleźć

pole prawego obszaru.

Prawy obszar, później
będziemy mogli

po prostu je do siebie dodać.

Prawy obszar, zaczynamy
od x równego 0 do x,

wybaczcie, od x równego 1 do x równego 2,
od 1 do 2.

Wyższa funkcja jest równa
2 odjąć x.

Od tego odejmiemy dolną funkcję,

która wynosi x do kwadratu
przez 4 odjąć 1.

A teraz musimy tylko to obliczyć.

Wpierw uprośćmy
to po prawej.

Jest to równe całce oznaczonej

od 0 do 1 z pierwiastka z x
odjąć x do kwadratu przez 4 dodać 1,

dx - napiszę to wszystko w jednym kolorze -

dodać całka oznaczona
od 1 do 2 z 2 odjąć x,

odjąć x do kwadratu przez 4.

Dalej, odjęcie liczby ujemnej
daje dodatnie 3 - lub dodatnie 1.

Możemy po prostu dodać to do tej 2.

Więc to 2 staje się 3.

Powiedziałem 2 odjąć
minus 1 to 3, dx.

A teraz wystarczy wziąć
funkcję pierwotną

i obliczyć ją dla 1 i 0.

Więc funkcja pierwotna tego, to,

to jest x do potęgi 1/2.

Dodajemy 1.

Po dodaniu 1 do potęgi,
mamy x do 3/2,

później mnożymy przez odwrotność

nowego wykładnika,
więc to jest 2/3 x do 3/2.

Odejmujemy funkcję pierwotną
x do kwadratu przez 4

to jest x do trzeciej przez 3,
podzielone przez 4, więc podzielone przez 12,

dodać x.

To funkcja pierwotna dla 1.

Obliczymy to dla 1 i dla 0.

Tak więc funkcja pierwotna

to 3x minus x
do kwadratu przez 2 minus x

do 3 przez 12.

Jeszcze raz policzymy to
- albo nie jeszcze raz.

Teraz policzymy to dla 2
i dla 1.

Tak więc tutaj wszystko
to liczymy w 1.

Dostajemy 2/3 odjąć 1/12 dodać 1.

I od tego odejmujemy to
obliczone dla 0.

Ale to wszystko daje 0,
więc otrzymujemy nic.

Czyli do tego uprościł
się żółty kawałek.

A teraz ten fioletowy kawałek,
czy też fuksjowy

czy fiołkowy, czy jakikolwiek ten kolor jest,
wpierw obliczamy to w 2.

Otrzymujemy, 6 odjąć, zobaczmy,
2 do kwadratu przez 2 to jest 2, odjąć 8

przez 12.

A od tego odejmiemy

to obliczone dla 1.

Więc to będzie 3 razy 1 - to jest 3 -
odjąć 1/2 odjąć 1

przez 12.

I teraz w końcu
co trzeba zrobić

to dodać kilka funkcji.

Zobaczmy czy potrafimy to zrobić.

Wygląda na to, że 12 będzie
najbardziej oczywistym

wspólnym mianownikiem.

Czyli tutaj mamy 8/12
odjąć 1/12 dodać 12/12.

Czyli to się upraszcza -
do czego?

To jest 19/12, ta żółta część.

A teraz ten kawałek,
zrobię to w tym kolorze.

Tak więc 6 odjąć 2, to po
prostu będzie 4.

Czyli możemy to zapisać jako
48/12 - to jest 4 - odjąć 8/12.

I teraz będzie trzeba
odjąć 3, czyli 36/12.

Teraz dodamy do 1/2,
czyli po prostu 6/12,

a teraz dodamy do 1/12.

Czyli to wszystko się uprości do,
- zobaczmy, 48 odjąć 8

to 40, odjąć 36 to 4,
dodać 6 to 10, dodać 1 to 11.

Czyli razem to 11/12 na plusie.

Jeszcze się upewnię
czy dobrze policzyłem.

48 odjąć 8 to 40,
odjąć 36 to 5, 10, 11.

Wygląda, że dobrze.

I jesteśmy gotowi by
dodać te dwie rzeczy.

19 dodać 11 daje 30/12.

Lu b jeśli chcemy to trochę
uprościć,

możemy podzielić licznik
i mianownik przez 6.

To daje 5/2,
czy też 2 i 1/2.

I gotowe.

Obliczyliśmy pole tego całego obszaru.

Jest to 2 i 1/2.