Area between curves with multiple boundaries

สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้
คือหาพื้นที่ของเขตนี้

ที่ผมแรเงาด้วยสีเหลือง

และสิ่งที่ดูท้าทายคือว่าในเขตนี้

ผมมีฟังก์ชันตัวล่างเดียวกัน

หรือจะเรียกว่าขอบล่างก็ได้ คือ y

เท่ากับ x กำลังสองส่วน 4 ลบ 1

แต่ผมมีขอบบนต่างกัน

วิธีที่เราแก้ปัญหานี้

คือการแบ่งพื้นที่นี้เป็นสองส่วน

หรือแบ่งเขตนี้เป็นสองเขต เขตทางซ้าย

กับเขตทางขวา โดย

สำหรับเขตแรกนี้ ผมจะ --

ผมจะระบายสีด้วยสีเหลืองอีก
-- สำหรับเขตแรกนี้

ตลอดช่วงทั้งหมดของ x นั้น

มันดูเหมือนว่า x จะไปจาก 0 ถึง 1

y เท่ากับ -- เมื่อ x เท่ากับ 1, ฟังก์ชันนี้เท่ากับ 1

เมื่อ x เท่ากับ 1, ฟังก์ชันนี้ก็เท่ากับ 1 ด้วย

นี่คือจุด (1, 1)

นี่คือจุดที่พวกมันตัดกัน

สำหรับส่วนนี้ เขตย่อยนี่ตรงนี้

y เท่ากับรากที่สองของของ x
เป็นฟังก์ชันบนตลอดเวลา

แล้วเรามี -- เราตั้ง

อีกตัว -- เราแยกหา

พื้นที่ของเขตนี้ได้

จาก x เท่ากับ 1 ถึง x เท่ากับ 2

เมื่อ y เท่ากับ 2 ลบ x เป็นฟังก์ชันบน

ลองทำดู

ลองคิดถึงเขตแรกก่อน

มันจะเท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขตจาก x

เท่ากับ 0 ถึง x เท่ากับ 1

และฟังก์ชันบนของเราคือรากที่สองของ x
รากที่สองของ x

แล้วจากนั้น เราอยากลบฟังก์ชันล่าง --

รากที่สองของ x ลบ x กำลังสองส่วน 4 ลบ 1

แล้วแน่นอน เรามี dx

อันนี้ตรงนี้ อันนี้บรรยายพื้นที่สีเหลือง

และคุณคงนึกออก ส่วนนี่ตรงนี้

ผลต่างระหว่างฟังก์ชันสองตัวนี้

ก็คือความสูง

ขอผมใช้อีกสีนะ

แล้วคุณคูณมันด้วย dx

คุณจะได้สี่เหลี่ยมเล็กๆ กว้าง dx

แล้วคุณทำไปสำหรับแต่ละ x

แต่ละ x คุณจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉากต่างๆ กัน

แล้วคุณบวกพวกมันเข้า

คุณหาลิมิตเมื่อ
การเปลี่ยนแปลงของ x เข้าใกล้ 0

แล้วคุณจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉากบางเฉียบสุดๆ

และคุณมีจำนวนสี่เหลี่ยมนับไม่ถ้วน

นั่นคือนิยามของเรา หรือนิยามรีมานน์

ว่าอินทิกรัลจำกัดเขตคืออะไร

และนี่คือพื้นที่ของเขตซ้าย

ด้วยเหตุผลเดียวกัน เราก็หา

พื้นที่ของเขตขวาได้

เขตขวา -- เราแค่

บวกสองตัวนี้เข้าด้วยกัน

เขตขวา เราจะไปจาก x เท่ากับ 0

ถึง x -- โทษที x เท่ากับ 1
ถึง x เท่ากับ 2, 1 ถึง 2

ฟังก์ชันบนคือ 2 ลบ x

แล้วจากนั้น เราจะลบฟังก์ชันล่าง

ซึ่งก็คือ x กำลังสองส่วน 4 ลบ 1

และตอนนี้เราต้องหาค่า

ลองจัดรูปอันนี้ตรงนี้ให้ง่ายลง

อันนี้เท่ากับอินทิกรัลจำกัดเขต

จาก 0 ถึง 1 ของรากที่สองของ x ลบ
x กำลังสองส่วน 4 บวก 1

dx -- ผมเขียนทั้งหมดด้วยสีเดียวแล้ว --

บวกอินทิกรัลจำกัดเขต
จาก 1 ถึง 2 ของ 2 ลบ x

ลบ x กำลังสองส่วน 4

แล้วลบลบเป็นบวก 3 -- หรือบวก 1

เราบวกมันกับ 2 นี้ได้

แล้ว 2 นี้กลายเป็น 3

ผมบอกว่า 2 ลบลบ 1 เป็น 3 dx

และตอนนี้เราต้องหาปฏิยานุพันธ์

และหาค่าที่ 1 กับ 0

ปฏิยานุพันธ์ขอองตัวนี้คือ --

นี่คือ x กำลัง 1/2

เพิ่มขึ้น 1

เพิ่มเลขชี้กำลังขึ้น 1 คุณจะได้ x กำลัง 3/2

แล้วคูณมันด้วยส่วนกลับ

ของเลขชี้กำลังใหม่ -- มันก็คือ 2/3 x กำลัง 3/2

ลบ -- ปฏิยานุพันธ์ของ x กำลังสองส่วน 4

ได้ x กำลัง 3, หารด้วย 3, หารด้วย 4,
ได้หารด้วย 12

บวก x

นั่นคือปฏิยานุพันธ์ของ 1

เราจะหาค่ามันที่ 1 กับ 0

แล้วตรงนี้ ปฏิยานุพันธ์คือ

3x ลบ x กำลังสองส่วน 2 ลบ x

กำลัง 3 ส่วน 12

เหมือนเดิม หาค่ามันที่ -- ไม่ใช่เหมือนเดิมสิ

ตอนนี้เราจะหาค่ามันที่ 2 กับ 1 แทน

ตรงนี้ คุณหาค่าทั้งหมดนี้ที่ 1

คุณจะได้ 2/3 ลบ 1/12 บวก 1

แล้วจากนั้น คุณลบค่านี้ที่ 0

แต่นี่ก็แค่ 0 คุณจึงไม่ได้อะไร

นี่คือสิ่งที่ลดรูปจากตัวสีเหลือง

แล้วตัวสีม่วงนี้ สีบานเย็นนี้

หรือสีชมพู สีอะไรก็ช่าง ก่อนอื่นคุณหาค่าที่ 2

คุณได้ 6 ลบ -- ลองดู
2 กำลังสองส่วน 2 ได้ 2, ลบ 8

ส่วน 12

แล้วจากนั้น คุณจะลบ

ตัวนี้หาค่าที่ 1

มันจึงเท่ากับ 3 คูณ 1 --
นั่นคือ 3 -- ลบ 1/2 ลบ 1

ส่วน 12

และตอนนี้ เราจะเหลือ

แค่บวกเศษส่วนต่างๆ

ลองดูว่าเราทำได้ไหม

มันดูเหมือนว่า 12 จะเป็น

ตัวส่วนร่วมที่ชัดที่สุด

ตรงนี้ คุณมี 8/12 ลบ 1/ 12 บวก 12/12

อันนี้ลดรูปเหลือ -- นี่คืออะไร?

นี่คือ 19/12 ส่วนที่เราเขียนด้วยสีเหลือง

แล้วตัวนี้ ขอผมใช้สีนี้นะ

6 ลบ 2 นี่ก็แค่ 4

เราเขียนได้เป็น 48/12 -- นั่นคือ 4 -- ลบ 8/12

แล้วเราจะต้องลบ 3 ซึ่งก็คือ 36/12

แล้วเราจะบวก 1/2 ซึ่งก็คือบวก 6/12

แล้วเราจะบวก 1/12

อันนี้จึงลดรูปหมดเเหลือ -- ลองดู 48 ลบ 8

ได้ 40, ลบ 36 ได้ 4, บวก 6 ได้ 10,
บวก 1 ได้ 11

อันนี้จึงกลายเป็นบวก 11/12

ขอผมดูหน่อยว่าผมทำถูกจริง

48 ลบ 8 ได้ 40, ลบ 36 ได้ 4, 10, 11

มันดูใช้ได้แล้ว

แล้วเราก็พร้อมบวกสองตัวนี้

19 บวก 11 เท่ากับ 30/12

หรือถ้าเราอยากจัดรูปอันนี้หน่อย

เราก็หารตัวเศษกับตัวส่วนด้วย 6 ได้

อันนี้เท่ากับ 5/2 หรือ 2 1/2

เราก็เสร็จแล้ว

เราหาพื้นที่ของเขตทั้งหมดนี้ได้แล้ว

มันคือ 2 1/2