Probability with Playing Cards and Venn Diagrams

Zajmijmy się teraz prawdopodobieństwiem korzystając z kart do gry.

Na potrzeby tego filmu zakładamy,

że nasza talia nie zawiera żadnych jokerów.

Możesz zajmować się tymi samymi problemami biorąc pod uwagę jokery,

otrzymasz tylko nieco inne wyniki.

Mając to z głowy

pomyślmy najpierw

ile kart mamy w standarowej talii do gry?

Macie więc cztery kolory

i te kolory to: pik, karo, trefl

i kier.

Macie cztery kolory

i w każdym z tych trzech kolorów macie trzynaście różnych

typów kart, zwanych również figurami.

Każdy kolor ma trzynaście różnych typów kart.

Macie asa, dwójkę, trójkę

czwórkę, piątkę, szóstkę, siódemkę, ósemkę, dziewiątkę, dziesiątkę

później macie waleta, króla i damę.

Daje to trzynaście kart.

Dla każdego koloru możecie mieć dowolną z tych

kart, dla każdego typu kart możecie mieć dowolny kolor.

A więc możecie mieć waleta karo, waleta trefl,

waleta wino i waleta kier.

Wystarczy, więc pomnożyć te dwie rzeczy,

moglibyście wziąć talię kart i najzwyczajniej

je policzyć, wyciągnąć z talii jokery policzyć karty.

Ale wystarczy pomnożyć, macie cztery kolory

i każdy z tych kolorów ma trzynaście typów

co da nam 13 razy 4 kart

inaczej mówiąc, będziecie mieć 52 karty w standardowej talii.

Można to powiedzieć inaczej: popatrzcie jest trzynaście

figur lub typów i każdy z nich występuje w czterech różnych

kolorach, 13 razy 4 i znów otrzymaliście 52 karty.

Teraz, pomyślmy o prawdopodobieństwach

różnych zdarzeń. Powiedzmy, że przetasowałem talię, przetasowałem ją

naprawdę porządnie. I teraz losowo wybieram jedną kartęz tej talii.

I chcę wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo, że wybiorę

jakie jest prawdopodobieństwo, ze wybiorę waleta?

Cóż, ile jest różnych równie prawdopodobnych zdarzeń?

Cóż, skoro mogę wybrać jedną z tych 52 kart, istnieje

52 możliwości podczas wybierania karty.

I ile z tych możliwości stanowią walety?

Cóż, mamy waleta wino, waleta karo,

waleta trefl i waleta kier.

Cztery walety.

W talii znajdują się cztery walety.

Będzie więc 4 nad 52, obie liczby są podzielne przez cztery

Cztery podzielone przez cztery daje jeden

52 podzielone przez 4 daje 13.

Teraz pomyślmy o

prawdopodobieństwie... to teraz zaczniemy od początku

Włożę waleta z powrotem i jeszcze raz przetasuję talię.

Znów mamy 52 karty.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że dostanę kiera?

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągnąłem losową kartę

z przetasowanej talii i że jest to kier? Kolor tej karty to kier?

Cóż, znowu mamy 52 możliwych kart spośród których mogę wybierać

52 możliwych, równie prawdopodobnych zdarzenia z którymi mamy do czynienia

Ile z nich ma nasze kiery?

W zasadzie trzynaście z nich jest kierami. Na każdy

z koloroów przypada trzynaście typów kart, więc musi być trzynaście

kierów w tej talii, trzynaście kar,

trzynaście win oraz trzynaście trefli.

A więc 13 z 52 będzie dawało nam kiery.

Obie te liczby są podzielne przez 13 i jest to ta sama

rzecz co jedna czwarta. Raz na cztery razy wyciągnę kartę

lub mam jedną czwartą prawdopodobieństwa otrzymania kiera

kiedy spróbuję, losowo wybrać kartę

z przetasowanej talii.

Zajmijmy się teraz nieco bardziej interesującymi rzeczami

może jest to nieco oczywiste, ale jakie jest prawdopdobieństwo

że wyciągne z coś z talii i będzie to zarówno walet jak i kier?

Cóż, jeżeli znacie się chociaż trochę na kartach to wiecie

że istnieje tylko jedna karta, która jest zarówno waletem jak i kierem.

Jest to po prostu walet kier.

W zasadzie pytamy się jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wybraliśmy dokładnie kartę

walet kier.

Cóż, istnieje tylko jedno zdarzenie, tylko jedna karta która spełnia wymagania podane

tutaj i istnieje 52 możliwych do wybrania karta.

Istnieje więc szansa 1 na 52, że wybiorę waleta kier.

Coś co jest zarówno waletem jak i kierem.

Zajmijmy się teraz czymś troche bardziej interesującym.

Jakie jest prawdopodobieństwo, możesz chcieć zapauzować i pomyśleć

trochę o tym chwilę zanim podam Ci właściwą odpowiedź, jakie jest

prawdopodobieństwo ... znów mam talię złożoną z 52 kart, tasuję ją

i losowo wybieram kartę z tej talii, jakie jest prawdopodobieństwo, że

karta którą wybrałem jest waletem lub kierem?

A więc może to być walet kier, walet karo

albo może to być walet wino, lub może to być dama kier

albo dwójka kier. Jakie jest prawdopodobieństwo tego zdarzenia?

I jest to nieco bardziej interesująca rzecz, ponieważ...

Po pierwsze, wiemy że mamy 52 możliwości

ale ile z tych możliwości spełnia kryteria

kryteria bycia waletem lub kierem?

Po to by to zrozumieć, narysuję diagram Venna.

Może brzmieć nieco strasznie, ale nie ma się czego bać.

Wyobraźcie sobie, że ten prostokąt, który tutaj rysuję przedstawia

wszystkie możliwe wyniki. Jeśli chcesz możesz wyobrazić sobie, że ma

pole powierzchni 52. A więc to jest 52 możliwych wyników, teraz ile z nich

skutkuje wybraniem waleta?

O tym już wiemy, jedna trzynasta z tych wyników da nam

waleta. Mogę więc narysować tutaj mały okrąg o tym polu

przybliżając

reprezentuje to prawdopodobieństwo waleta.

Powinno to być mniej wiecej 1/13 lub 4/52 tej oto

powierzchni. Narysuję to w ten sposób. A więc to reprezentuje

prawdopodobieństwo waleta. Wynosi ono cztery, są to cztery

karty spośród 52. A więc 4/52 lub 1/13.

Teraz jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania kiera?

Cóż, narysujmy tutaj inny okrąg, który będzie to reprezentował.

13 z 52, 13 z tych 52 kart to kiery.

I jedna z nich reprezentuje zarówno kiera jak i waleta.

A więc narysuję je przecinające się się i mam nadzieję, że będzie to zrozumiałe

za chwilę.

Mamy więc trzynaście kart, które są kierami.

To jest liczba kierów.

Pozwólcie, że przepiszę to na górze w ten sam sposób.

Będzie trochę bardziej przejrzyście, w zasadzie patrzymy na -- wyczyść to

-- ilość waletów. I oczywiście te dwa się przecinają

właśnie tutaj znajduje się liczba waletów, które są również kierami. Liczba

kart spośród 52 które są zarówno waletem jak i kierem.

Ten fragment znajduje się w obu zbiorach, tutaj w zielonym okręgu i tutaj w

tym pomarańczowym okregu. Zaznaczę to na żółto

ponieważ żołtego używałem do zapisania tego problemu.

Ta tutaj liczba to liczba waletów i kierów.

pozwólcie, ze narysuję tutaj małą strzałkę. Zaczyna się robić mały bałagan.

Powinienem narysować trochę większy rysunek.

Liczba waletów i kierów.

I to jest właśnie to przecięcie tutaj, więc jakie jest prawdopodobieństwo

uzyskania waleta lub kiera?

Jeżeli się nad tym zastanowić, to prawdopodobieństwem będzie liczba

zdarzeń, które spełniają te warunki podzielone przez całkowitą liczbę zdarzeń.

No tak, wiemy już że całkowita liczba zdarzeń wynosi 52.

Ale ile z nich spełnia wymagania?

Będzie to liczba, będzie to...

moglibyście powiedzieć: cóż, wystarczy popatrzyć na zielony okrąg i jest tam liczba

która mówi nam ile mamy waletów i popatrzyć na pomarańczowy okrąg, który mówi nam jaka jest liczba kierów.

Możecie teraz powiedzieć:

Czemu po prostu nie dodać zielonego i pomarańczowego?

Ale jeśliby tak zrobić, to liczylibyście podwójnie.

Jeżeli dodasz to do siebie, jeżeli dodać cztery do trzynastu

to co tym samym mówimy?

Mówimy, że są cztery walety i mówimy

że jest trzynaście kierów.

Ale w obu zbiorach, robiąc to w ten sposób

w obu przypadkach liczymy waleta kier.

Wrzucamy tutaj waleta kier i tutaj również wrzucamy waleta kier.

Tak więc liczymy waleta kier podwójnie, pomimo tego że mamy tylko

jedną taką kartę. Musicie więc odjąć część wspólną tych dwóch.

Musicie odjąć to co jest zarówno waletem

jak i kierem.

Musicie więc odjąć jeden.

Inny sposób patrzenia.

Tak naprawdę chcecie znać całkowitą powierzchnię tego tutaj obszaru.

Pozwólcie, że przybliżę ekran i uogólnię to nieco.

Macie więc jeden okrąg taki jak ten i zaraz obok macie drugi

przecinający się z nim okrąg. Chcecie poznać całkowitą powierzchnię

tych dwóch połączonych okręgów. Popatrzcie na powierzchnię

tego okręgu i dodajcie do niej powierzchnię tego okręgu.

Ale jeśli to zrobicie, zauważycie, że dodaodając do siebie dwie powierzchnie

policzyliście tą powierzchnię dwa razy.

Chcąc policzyć tą powierzchnię tylko raz, musicie odjąć

tą powierzchnię od sumy.

Więc jeżeli ta powierzchnie, jeżeli ta, jeżeli tą powierzchnię oznaczymy jako A, tą powierzchnię jako B

A przecięcie, tam gdzie się na siebie nakładają C.

Połączona powierzchnia będzie równa A plus B minus to gdzie się na siebie nakładają

minus C.

Dokładnie o to samo chodzi tutaj.

Liczymy wszystkie walety łacznie z waletem kier.

Liczymy wszystkie kiery łącznie z waletem kier.

Więc policzyliśmy waleta kier dwukrotnie, będziemy musieli więc jednego odjąć od całości.

Będzie to więc 4 + 13 - 1.

Innymi słowy będzie to 16/52. Obie liczby są podzielne

przez cztery.

Będzie więc odpowiadało temu,

że jeżeli podzielę szesnaść przez cztery dostaniemy cztery i jeżeli podzielę 52 przez cztery otrzymam

trzynaście.

Oto nasz wyniki, istnieje 4/13 szansy na to że wyciągniemy waleta lub kiera.